Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(UERJ) As contas correntes de um banco são codificadas através de um número sequencial seguido de um dígito controlador. Esse dígito controlador é calculado conforme o quadro:

Processo de codificação de contas correntes - Uma aplicação da Álgebra dos Vetores.

A conta 643 - 5 , aberta na década de 80, foi cadastrada no ano de:
(A) 1985
(B) 1986
(C) 1987
(D) 1988


Solução: Vetor (vector) é o mesmo que condutor ou portador de um valor. É um conceito matemático muito usado na Física, na Medicina e na Ciência da Computação.

Na geometria analítica pode ser representado por meio de um segmento orientado ou por meio de uma coordenada cartesiana (ponto). Na álgebra Linear pode ser representado por meio de uma matriz linha ou matriz coluna.

Nesse problema, os vetores (a,b,c) e (y,z,w) são ternos ordenados de números.

Na conta 643-5, o dígito controlador é d = 5. Pelas alternativas apresentadas, temos os vetores (a,b,c) = (6,4,3) e (y,z,w) = (9,8,w), onde w pertence ao conjunto {5,6,7,8}.

O produto escalar (produto interno), definido no quadro acima, é ay + bz + cw = 54 + 32 + 3w = 86 + 3w.

Como d = 5 é o resto da divisão do produto interno pela constante 11, usando o algoritmo da divisão, segue que 86 + 3w = 11k + 5, onde k e w são números naturais.

Daí vem que

3w = 11k + 5 - 86

3w = 11k - 81

w = (11k - 81) / 3, onde k é um múltiplo de 3, maior que 8 e menor que 10.

k=9 e w=6

Então k = 9, logo w = (99 - 81) / 3 = 6.

Assim, nesse banco, a conta 643 - 5 , aberta nos anos 80, foi cadastrada no ano de 1986, correspondendo a alternativa (B).



(UFAL) A localização de um lago, em relação a uma caverna pré-histórica, exigia que se caminhasse 200 m numa certa direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à primeira. A distância em linha reta, da caverna ao lago era, em metros,
(A) 680
(B) 600
(C) 540
(D) 520
(E) 500

Solução: Podemos representar o deslocamento desenhando um vetor de 200 m de comprimento (ou módulo) e um outro vetor, perpendicular (forma um ângulo reto) ao primeiro, de 480 m de comprimento (ou módulo). Observe que o triângulo retângulo formado onde a hipotenusa é a distância d procurada. Logo podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

vetor resultante

Assim, a distância em linha reta, da caverna ao lago era d = 520 m (alternativa D).


Observe os vetores u e v abaixo.
Norma do vetor soma
Calcule o módulo (ou Norma) do vetor u+v.

Solução: Somar dois vetores equivale a somar as correspondentes coordenadas e para multiplicar um vetor por um número real (escalar), multiplicam-se as componentes do vetor por esse número.
Operação com vetores.
Logo, u+v = (2 , 2) + (4 , 2) = (2+4 , 2+2) = (6 , 4).
Vamos usar o Teorema de Pitágoras, para calcular o módulo |u+V|
|u+v| = 2 vezes a raiz quadrada de 13.
Considerando a raiz quadrada de 13 igual a 3,6 aproximadamente, o valor aproximado de |u+v| = 7,2.

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