Professor Ezequias.

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(UERJ) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um suporte, serão usados em uma festa. Considere, agora, as seguintes informações:

– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte;

– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é desperdiçado;

– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são desperdiçados;

– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;

– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35% deles.

– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de 3 / 2 .

O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 45


Solução: Sejam:

x = quantidades de vezes que se retirou apenas 1 copo (0 desperdício)

y = quantidades de vezes que se retirou 2 copos (y desperdícios)

z = quantidades de vezes que se retirou 3 copos (2z desperdícios)

Total de copos retirados exceto os de "apenas 1 copo" = 2y + 3z

Total de copos desperdiçados = y + 2z = 35% de 100 = 35.

Como y / z = 3 / 2 ,  temos:

2y = 3z  e  y = 35 - 2z

Então:

2(35 - 2z ) = 3z

70 - 4z = 3z

z = 10

y = 35 - 20 = 15.

Segue que : 2y + 3z = 2(15) + 3(10) = 30 + 30 = 60.

Assim, a quantidade de vezes que se retirou apenas um copo é x = 100 - 60 = 40 (alternativa C)



(UERJ) Nicole pediu a seu irmão João que pensasse em um número e efetuasse as seguintes operações, nesta ordem:

1a) multiplicar o número pensado por 5

2a) adicionar 6 ao resultado

3a) multiplicar a soma obtida por 4

4a) adicionar 9 ao produto

5a) multiplicar a nova soma por 5

João comunicou que o resultado é igual a K. As operações que Nicole deve efetuar com K, para "adivinhar" o número pensado, equivalem às da seguinte expressão:
(A) (K – 165) : 100
(B) (K – 75) : 100
(C) K : 100 + 165
(D) (K + 165) : 100


Solução: Seja x o número pensado.

Então temos: [(5x + 6)×4 + 9]×5 = K

Segue que:

20x + 24 + 9 = K/5

100x + 165 = K

x = (K - 165) / 100 ( opção A).



Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental?
Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio;

número de elementos da interseção (superior e médio)

#(S) o número de candidatos ao nível superior;

#(F) número de candidatos ao nível fundamental.

Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13.

Então, 0,74#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e

número de elementos da interseção = 150 - 111 = 39

Assim, 0,13#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de conjuntos com a quantidade de elementos.
261+39+111+x=700
Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) = 700 - 411 = 289.



Joaquim e Mario montaram uma sociedade. Joaquim entrou com R$ 20.000,00 e Mario com R$ 30.000,00. Ao fim de um ano tiveram um lucro de R$ 7.500,00.  Calcule o lucro de cada sócio.

Solução: Vamos usar um procedimento usualmente chamado de divisão proporcional.

J / 20000 = M / 30000 = 7500 / 50000 = 0,15

J = 20000 × 0,15 = 3000

M = 30000 × 0,15 = 4500

Assim, João lucrou R$ 3.000,00 e Mario lucrou R$ 4.500,00.



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