Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(UNICAMP) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão?
Solução: Temos que escolher 3 de 6 e escolher 5 de 8. A ordem com que essas ecolhas são feitas não faz diferença (combinação simples).

Assim, pela Análise Combinatória, o resultado procurado é C6,3×C8,5 = (6×5×4/3!)×(8×7×6×5×4/5!) = 20×56 = 1120 modos.



(UNICAMP) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i² = -1. Então i0 + i1 + i2 + i3 + ... + i2013 vale
(A) 0
(B) 1
(C) i
(D) 1+i

Solução: Usando as propriedades dos números complexos, observamos que i0 + i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + ... = 1 + i -1 - i + 1 + i - 1 - i + ... = 0 + 0 + ..., ou seja, a partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4 e o resultado da soma de cada 4 parcelas é zero.

Como a soma i0 + i1 + i2 + i3 + ... + i2013 tem 2014 parcelas, dividindo 2014 por 4, encontramos o algorítmo da divisão 2014 = 503×4 + 2. O resto 2 significa que temos 503 parcelas que somam zero e mais 2 parcelas que não somam zero .

A parcela i2012 = (i²)1006 = (-1)1006 = 1.

A parcela i2013 = i(i)2012 = i(i²)1006 = i(-1)1006 = i.

Logo, as duas parcelas que não somam zero são: 1 + i.

Assim, a soma i0 + i1 + i2 + i3 + ... + i2013 = 0 + 1 + i = 1 + i ( alternativa D).



(UNICAMP) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão em progressão geométrica de razão q > 1.

a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de menor área.

b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a 252 m².


Solução: Como as dimensões da piscina estão em PG, então as dimensões valem (em metros) a, aq e aq², com q > 1 e a > 0.
prisma quadrangular - geometria espacial
a) A face de menor área tem dimensões a e aq e perímetro P1 = 2a + 2aq = 2(a + aq) = 2a(1 + q).
A face de maior área tem dimensões aq e aq² e perímetro P2 = 2aq + 2aq² = 2(aq + aq²) = 2aq(1 + q) .
Assim, o quociente P2/P1= 2aq/2a = q
 
b) A área total do paralelepípedo é a soma de todas as áreas de suas faces, ou seja, 
At = 2(a)(aq) + 2(a)(aq²) + 2(aq)(aq²) = 2a²q(1 + q + q²).
 
Considerando q = 2, vem que At = (2a²)(2)(1 + 2 + 2²) = 28a² = 252
logo, a² = 252/28 = 9 , portanto a = 3. 
 
Assim, o volume, em metros cúbicos, do paralelepípedo é
V = a(aq)(aq²) = (a³)(q³) = (3³)(2³) = (27)(8) = 216 m³ .


| Privacidade
| Vídeos