Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%?
Solução: De acordo com o enunciado temos 99 homens e 1 mulher num total de 100 pessoas. Seja x a quantidade de homens que deve sair da sala. Observe que quando tiramos uma quantidade x de homens num total de 99 homens tiramos também a mesma quantidade x de homens num total de 100 pessoas. Saindo x homens, teremos ( 99 - x ) homens num total de ( 100 - x ) pessoas.
Como queremos que a porcentagem de homens passe a ser 98%, temos que encontrar o valor de x na proporção :
( 99 - x ) / ( 100 - x ) = 98 / 100.
Resolvendo esta equação, encontramos: 9900 - 100x = 9800 - 98x , o que implica em 100 = 2x.
Logo x = 50 homens.

(UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de cada uma, formamos um número entre 0 e 9.999. Lembrando que zero é multiplo de qualquer número inteiro, determine a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 8.
Solução: Considere o evento A = {o número sorteado é múltiplo de 8}. A probabilidade da ocorrência do evento A , é a razão entre o número de casos favoráveis à ocorrência do evento A e o número de resultados possíveis para o experimento. Como, de 0 a 9.999, podemos formar 10.000 números, o número de resultados possíveis é 10.000.
Sendo o conjunto dos múltiplos de 8 uma PA, onde o primeiro termo é a1 = 0 e a razão é r = 8, vem que o último termo dessa PA é an = 9.992.
Então, 9.992 = 0 + (n-1)×8, onde n é o número de termos. Assim, n = (9.992 / 8) + 1 = 1.249 + 1 = 1.250 que é o número de casos favoráveis.

Portanto, a probabilidade do sorteado ser múltiplo de 8 é: 1.250 / 10.000 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.



(UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?
Solução: Seja mcdu um número qualquer de 4 algarismos, onde m ¹ 0. Como c, d e u podem assumir quaisquer dos algarismos de 0 a 9,  pelo Princípio  Fundamental da Contagem, podemos formar 9×10×10×10 = 9000 números de quatro algarismos.

Considere a quantidade dos tais números que não contêm o algarismo 2. Então, como m ¹ 0, m ¹ 2, c ¹ 2, d ¹ 2 e u ¹ 2,  pelo PFC, temos 8×9×9×9 = 5832 números de 4 algarismos que não contém o algarismo 2.

Portanto, a quantidade de números de quatro algarismos em que o 2 aparece ao menos uma vez  (uma vez ou mais) é a diferença: 9000 - 5832 = 3168.



(UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, 45% viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, 35% viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, 30% dobram à esquerda.

grafo

Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram  em E.


Solução: Por E passam 65% dos 45% que passam por B somados aos 30% dos 55% que passam por C.

Assim, o percentual procurado é: 0,65×0,45 + 0,30×0,55 = 0,4575 = 45,75%



(UFRJ) Os 18 retângulos que compõem o quadrado a seguir são todos congruentes.

Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm2, determine o perímetro de cada retângulo.


Solução:  Sendo x o comprimento e y a largura de cada um dos 18 retângulos, segue que a resposta é 3,46 cm. De fato:

6y = 3x

2p = 2x + 2y = 3x = 3,46 cm


(UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nessa ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.
Solução: Como os logaritmos estão em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c = 2 + r, onde r é a razão da PA. Como log (abc) = log a + log b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6.

Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6, o que implica em abc = 106 = 1.000.000 .


(UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da PG.
Solução: Seja a PG (a1 , a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1 = 10 , a2 = 10q , a3 = 10q2 , a4 = 10q3 , ... , a8 = 10q7 , onde q é a razão da PG. O produto de seus termos é: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10×10q×10q2× ... ×10q7 = 108×q1+2+3+...+7.

Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 = 8×7/2 = 28, vem que: a1×a2×a3× ... ×a8 = 108q28. Assim, log (a1×a2×a3× ... ×a8) = log (108q28) = log 108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou q<0 , pela condição de existência do logaritmo no conjunto dos números reais, segue que o log (108q28) = log108 + log |q|28 = 8 + 28 log |q| = 36.

Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q = 10 ou q = -10.


(UFRJ) Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez.

O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto.

Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação (observe a tabela):

tabela: equipes x pontos

Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.


Solução: Seja G o número de partidas com vitórias e E o número de partidas empatadas. O número de  jogos é o número de combinações de 2 elementos escolhidos entre 10 elementos, ou seja, C10,2 = 10 × 9 / 2! = 45.

O número total de pontos é: 20 + 10 + 14 + 9 + 12 + 17 + 9 + 13 + 4 + 10 = 118.

Assim, para o total de pontos temos 118 = 3G + 2E , e para o total de jogos temos 45 = G + E.

Resolvendo este sistema de equações, obtemos E = 45 - G. Segue que: 118 = 3G + 2(45 - G).

Daí, vem que: 118 = G + 90 e G = 28. Logo, E = 45 - 28 = 17.

Portanto, terminaram empatados 17 jogos.



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