Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8cm×14cm, é dobrada como indicado na figura 2.

Dobradura de papel. A área do polígono ADCEB é a área do trapézio AECD menos a área do triângulo ABE
Se o comprimento CE é 8cm, a área do polígono ADCEB, em cm², é igual a:
(A) 112
(B) 88
(C) 64
(D) 24


Solução: Temos que AB = 8cm e BC = BE + CE. Como CE = 8cm e BC = 14cm, vem que, BE = 6cm. Na figura 2 a dobradura contruiu um triângulo retângulo ABE de hipotenusa AE dentro de um trapézio AECD.
A área do trapézio é o produto da média aritmética das bases pela altura, ou seja, A = (14 + 8)×8 / 2 = 22×8 / 2 = 88cm².
A área do triângulo é a metade do produto dos catetos, isto é, A = 6×8 / 2 = 24cm².
Assim, a área do polígono ADCEB é a área do trapézio AECD menos a área do triângulo ABE.
Logo, a área procurada é 88 - 24 = 64 cm². Concluindo, a opção (C) é a correta.

(UERJ) Considere um conjunto de 8 crianças: 4 meninos e 4 meninas. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a:
(A) 45
(B) 56
(C) 69
(D) 81


Solução: Podemos formar: grupos (subconjuntos) de 1 menino e 1 menina, ou, grupos de 2 meninos e 2 meninas, ou, grupos de 3 meninos e 3 meninas, ou, grupos de 4 meninos e 4 meninas .

Pela análise combinatória  o maior valor de n = C4,1×C4,1 + C4,2×C4,2 + C4,3×C4,3 + C4,4×C4,4 =

4×4 + 6×6 + 4×4 + 1×1 =  16 + 36 + 16 + 1 = 69 (opção C).



(UERJ) Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo.
Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem.
O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a:
(A) 6
(B) 24
(C) 64
(D) 168


Solução: Temos 4 possibilidades de escolha para o primeiro dígito do prefixo. Para o segundo dígito temos 3 possibilidades, pois um algarismo já foi escolhido para o primeiro dígito. Para o terceiro temos 3 possibilidades de escolha, pois dois já foram escolhidos. Para o quarto temos 1 possibilidade. Como os quatro últimos dígitos são 0000, temos 1 possibilidade para cada um dos quatro últimos. Assim, pelo PFC, o número máximo de tentativas é 4×3×2×1×1×1×1×1 = 24. Portanto, (B) é a opção correta.
(UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo:
calculadora
Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias por:
(A) 0,05
(B) 0,5
(C) 0,95
(D) 1,05

Solução: Pela Matemática Financeira calcular um desconto de 5% é o mesmo que calcular 95%. Se P é o preço total, então o preço com desconto de 5% é P - 0,05P = 0,95P .

Logo, para calcular o valor com desconto de 5%, basta fazer P × 0,95 . Assim, a alternativa correta é a opção (C).



(UERJ) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados em partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero.

curva de koch

Este processo de formação continua indefinidamente até a obtenção de um floco de neve de Koch.
Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, equivalente a:

geometria fractal


Solução: Fractal é uma figura geométrica de dimensão fracionária. O Fractal floco de neve é o resultado de infinitas adições de triângulos equiláteros ao perímetro de um triângulo equilátero inicial. Pois, cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e se aproxima do infinito. Desse modo, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

fractal floco de neve

Na primeira etapa (iteração) temos um triângulo equilátero de lado 1. Na segunda etapa temos mais 3 triângulos equiláteros de lado 1/3. Na terceira etapa temos mais 12 triângulos equiláteros de lado 1/9. Na quarta etapa temos mais 48 triângulos equiláteros de lado 1/27, e assim sucessivamente.
Calculando a área total.

Soma dos termos de uma PG decrescente infinita

Observe que dentro do parêntese temos 1 + a soma de uma progressão geométrica decrescente infinita com a1 = 1/3 e q = 4/9.

Calculando o Limite desta soma.

(2/5)(3^1/2)

Logo, o resultado procurado fica na opção (C).



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