Professor Ezequias

| Problemas Resolvidos

Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte problema: O teodolito é um instrumento capaz de medir ângulos,  muito usado por agrimensores, engenheiros e topógrafos no cálculo de distâncias inacessíveis. Este instrumento ótico mede ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus.
Para calcular a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Ele mediu a distância do prédio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verificou na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 58 graus. Se a luneta do teodolito está a 1,5 m do chão, qual é a altura do prédio? (Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53)
Solução: A trigonometria (trigono=triângulo + metria=medida) é o ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos. No triângulo retângulo temos:

razões trigonométricas

Na figura a seguir,  AB = CD = 1,5 é a altura do instrumento e CE = x+1,5 é a altura do prédio. No triângulo retângulo BDE formado, BE é a hipotenusa , DE = x  é o cateto oposto ao ângulo de 58 graus, BD = 27 é o cateto adjacente ao ângulo de 58 graus. Trabalhando com as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, temos:

O teodolito e a trigonometria. Medidas inacessíveis.


Logo, temos a proporção:

tangente de 58 graus = x/27=0,85/0,53=85/53=1,6

Assim, a altura do prédio é: x+1,5 = 43,2+1,5 = 44,7 m.



Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre até o plano, formando com o mesmo, um ângulo de 60°. Qual é o comprimento aproximado do cabo?
(use 1,41 para a raiz quadrada de 2  ou 1,73 para raiz quadrada de 3).
(A) 25m
(B) 29m
(B) 34m
(C) 39m
(D) 50m

Solução: Seja x o comprimento do cabo. Temos um triângulo retângulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ângulo de 60°. Portanto, devemos trabalhar com o seno de 60.

goniometria

Considerando a raiz quadrada de 3 igual a 1,73, teremos x = 50(1,73)/3 = 28,8m.

Logo, o comprimento aproximado do cabo é 29m (alternativa B).


Uma escada faz um ângulo de 30° com a parede vertical de um prédio, ao tocar o topo distante 6m do solo. Considere a raiz quadrada de 3 igual a 1,73 e a tabela a seguir:
Para que serve a trigonometria?
O comprimento aproximado da escada :
(A) 3 m
(B) 4 m
(C) 7 m
(D) 10 m
(E) 12 m

Solução: Temos um triângulo retângulo onde a escada é a hipotenusa e a parede é o cateto adjacente ao ângulo de 30 graus. Então, vamos usar o cosseno de 30 graus.

x=6,928203

Assim, a escada mede x = 4×1,73 = 6,92 m , ou seja, 7m aproximadamente (alternativa C).



(UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
navegação marítima (Ciências Náuticas)
(Adaptado do Livro: BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemática e Vida. São Paulo, editora Ática, 1990.).

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30 o com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60 o com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
850 m aproximadamente


Solução: A menor distância do barco ao farol é o segmento de reta perpendicular a direção AB que forma os dois triângulos retângulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distância do barco ao farol e seja x a distância do barco ao ponto B.

500.(1,73) = 865 m aproximadamente

Assim, a menor distância do barco ao farol é a resposta (B).

Nota: Considerando a raiz quadrada de 3 igual a 1,73, teremos a distância aproximada de 865 m.


(UNIRIO) O teodolito é um instrumento ótico usado principalmente por engenheiros civis e agrônomos para realizar medidas indiretas de grandes distâncias e alturas. Uma luneta, apoiada em um tripé, permite que um observador O mire em um referencial P e o teodolito indica o ângulo agudo (representado pela letra grega Teta) que o segmento OP faz com o plano horizontal. Um engenheiro usou o teodolito para medir a altura do Pão de Açúcar do seguinte modo:

o teodolito e a trigonometria

a) Em um ponto A, o teodolito indicou um ângulo de 45º.

b) Em seguida o engenheiro foi em direção ao Pão de Açúcar até um ponto B, distante 99 metros de A e o teodolito indicou um ângulo cujo seno é 0,8.

Para calcular a altura do Pão de Açúcar, o engenheiro desprezou a distância da luneta do teodolito ao solo. A altura calculada foi
(A) 384 metros.
(B) 388 metros.
(C) 392 metros.
(D) 396 metros.
(E) 400 metros.


Solução: A altura y do morro é lado comum aos dois triângulos retângulos formados. A altura y é o cateto oposto ao ângulo de 45 graus e também ao ângulo representado pela letra Teta:

Tabela de letras gregas

sugar loaf

Usando o Teorema de Pitágoras podemos chegar nas relações fundamentais da Trigonometria. Com essas relações montamos um sistema de equações.

x = 297 e y = 396

Assim, a resposta (D) 396 metros é a opção correta.



(UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m de raio e centro O, à qual pertencem os pontos A, B e P, sendo AO perpendicular a BO.
BS e AT são retas tangentes a essa circunferência.
ciclo Trigonométrico
Determine o perímetro do polígono AOBSTA em função do ângulo teta.

Solução: Observe que os triângulos OAT, OBS e CTS são semelhantes.
ciclo Trigonométrico
Então AT é a tangente do ângulo teta e BS é o inverso da tangente de teta. Chamamos o inverso da tangente de cotangente.
AT=tangente e BS=cotangente
Como CT+AT=1, segue:
CT=1-tg e ST=cosssecante-secante
Denominamos de cossecante o inverso do seno e de secante o inverso do cosseno. Desse modo encontramos o perímetro (a soma dos lados).
2+cotg+tg+cossec-sec
Em trigonometria chamamos essa circunferência de Ciclo Trigonométrico.

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