Professor Ezequias.

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Um problema tirado do livro de Sun Tzu Suan Ching (século IV d.C.): Numa gaiola há galinhas e coelhos. Em cima estão 35 cabeças e em baixo 94 pés. Quantas galinhas e coelhos estão na gaiola?
Solução: Considerando x = número de galinhas e y = número de coelhos, podemos usar o sistema de equações:

x + y = 35

e

2x + 4y =94

Resolvendo pela método da substituição:

x = 35 - y

2(35 - y) + 4y = 94

70 - 2y + 4y = 94

70 + 2y = 94

2y = 94 - 70

2y = 24

y = 12

x = 35 - 12

x = 23

Logo, na gaiola há 23 galinhas e 12 coelhos.



Resolva:
sistema-transistor-resistor-diodo
Solução: Temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas representadas por componentes eletrônicos (transistor, diodo e resistor).

Na primeira equação temos três transistores iguais que somam 30.
Então cada transistor vale 10.

Na segunda equação, no primeiro membro temos um transistor (que vale 10) mais dois diodos iguais. No segundo membro o valor 20.
Então, cada diodo vale 5, pois 10+5+5=20.

Na terceira equação, no primeiro membro temos um diodo (que vale 5) mais dois resistores iguais. No segundo membro o valor 9.
Logo, cada resistor vale 2, pois, 5+2+2=9.

Assim, temos: diodo=5 ; resistor=2; transistor=10.
Portanto, o resultado procurado: diodo + resistor × transistor = 5+2×10 = 5+20=25.


(PEBII-SP) Em um artigo da Revista do Professor de Matemática, o professor Elon Lages Lima justifica a importância do estudo de sistemas lineares e discute o equívoco em se utilizar a Regra de Cramer para discutir se um sistema é possível ou impossível. Dessa forma, o professor aconselha a resolver sistemas por escalonamento ou interpretação geométrica. No artigo, o professor Elon cita o sistema:

sistema de 3 equações com 3 incógnitas

Pode-se afirmar que o sistema é:

(A) impossível.

(B) possível e indeterminado.

(C) possível e determinado com uma solução nula.

(D) possível e determinado com o produto das soluções igual a 28.

(E) possível e determinado com a soma das soluções igual a 15.


Solução: Vamos resolver este sistema pelo método do escalonamento (ou eliminação de Gauss).  Neste método, vai se transformando o sistema dado em outros sistemas equivalentes, que possuem a mesma solução, até chegar a um sistema (escalonado) de resolução imediata e simples. Para isso, podemos usar apenas os coeficientes e os termos independentes, construindo uma matriz completa associada a este sistema.

matrizes equivalentes por linhas

Observe que a segunda linha da matriz  foi multiplicada por -1/2 e a terceira linha foi multiplicada por -1/3. Em seguida, a segunda linha  foi substituída pela sua soma com a primeira linha e, a terceira linha foi substituída pela sua soma com a primeira linha. Assim, temos o sistema dado transformado num sistema equivalente.

No sistema equivalente, na terceira equação 0x + 0y + 0z = -1/3, temos uma contradição, pois o produto de qualquer número por zero é igual a zero. Assim, o sistema dado não tem solução, ou seja, é impossível (alternativa A).



(UDESC) Calcule os valores de x, y e z que solucionam o sistema de equações lineares abaixo.

sistema de 3 equações com 3 incógnitas


Solução: Vamos escalonar o sistema construindo uma matriz completa associada a este sistema e executar operações elementares sobre as linhas da matriz.

i) Troca entre si de duas linhas da matriz;

ii) Multiplicação de uma linha da matriz por um número real diferente de zero.

iii) Substituição de uma linha pela sua soma (ou diferença) com uma linha multiplicada por um número real não nulo.

matrizes equivalentes por linhas

Assim, no sistema equivalente temos que:

-4z = 4

z = -1

-4y + 4(-1) = -16

y = 3

3x + 3(3) - 3(-1) = 18

x = 2.

Logo, o sistema possui como solução: x = 2 ; y = 3 e z = -1.



Resolva o sistema:
2x + y = 5 e x - y = 8


Solução: Vamos resolver o sistema usando o método da substituição:

sistema do segundo grau, onde x=3 e y=-1, ou, x=11/3 e y=-7/3

Observe que as soluções deste sistema, são os pontos de interseção da reta 2x + y = 5 com a hipérbole x2 - y2 = 8.

geometria analítica

Assim, pela geometria analítica, os pontos de coordenadas cartesianas (3 , -1) e (11/3 , -7/3), são as soluções deste sistema.



(CBMERJ) Se (x ; y) é a solução do sistema:

4/x  +  3/y  = 4   e  2/x  +  6/y  =-3

Então x + y é:
(A) -1 / 2
(B) 1 / 5
(C) 2 / 3
(D) 7 / 2
(E) 5


Solução: Fazendo 1 / x = a e 1 / y = b , teremos o sistema de equações:

4a + 3b = 4

e

2a - 6b = -3.

Multiplicando a primeira equação por 2 , ficamos com o sistema:

8a + 6b = 8

e

2a - 6b = -3.

Somando as duas equações (método da adição), segue que:

10a = 5

a = 5/10 = 1/2.

Substituindo na primeira equação, vem que:

8(1/2) + 6b = 8

4 + 6b = 8.

b = 4/6 = 2/3.

Assim, x = 2 e y = 3/2.

Logo, x + y = 2 + (3/2) = (4 + 3) / 2 = 7/2. (alternativa (D)




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