Professor Ezequias.

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No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos, elas são medidas em outra escala: em graus Fahrenheit (ou Farenheit). Podemos relacionar a escala americana com a que usamos aqui, por meio da função: y = (9/5)x + 32, onde x é a temperatura em graus Celsius e y é a temperatura em graus Fahrenheit.

a) Se na escala Celsius, a água ferve a 100 graus, calcule na escala Fahrenheit a temperatura que a água ferve.

b) Se na escala Celsius, a água congela a zero grau, calcule na escala Fahrenheit a temperatura que a água congela.

c) Qual a temperatura em graus Celsius de uma cidade européia que está com a temperatura de zero grau Fahrenheit?


Solução: Para cada temperatura x em graus Celsius, existe uma única temperatura y em graus Fahrenheit.
Dizemos então que y está em função de x por meio da equação: y = (9/5)x + 32 ou y = 1,8x + 32.

Graph the linear function y = 1,8x + 32

a) Para x = 100, temos y = (9/5).(100) + 32 = 900/5 + 32 = 180 + 32 = 212 graus  Fahrenheit.

b) Para x = 0, temos y = (9/5).(0) + 32 = 0 + 32 = 32 graus Fahrenheit.

c) Para y = 0, temos (9/5)x + 32 = 0. Resolvendo esta equação, temos:

(9/5)x = -32

9x = -160

x = -160 / 9 = - 17,777... graus Celsius.



No plano cartesiano abaixo, foi representado o gráfico de uma função polinomial do primeiro grau (função afim), da forma y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de zero.

Graph the linear function y=1,25+7

Uma expressão algébrica que representa essa função é:
(A) y = 1,5x + 7
(B) y = 1,5x - 7
(C) y = 5,6x + 7
(D) y = 1,25x + 7
(E) y = -1,25x + 7


Solução: Na função y = ax + b, o coeficiente a é o valor que y cresce (ou diminui) quando x cresce de uma unidade, ou seja, a é o coeficiente angular (declividade ou inclinação) da reta.
O coeficiente b é o valor de y quando x vale zero, ou seja, é o valor onde a reta toca o eixo y (coeficiente linear).

Observe que a reta passa pelo ponto de coordenadas (0 , 7), portanto b = 7. Então, a função tem a forma y = ax + 7.

Note que a reta passa pelo ponto (-4 , 2), isto é, quando x = -4, y = 2.

Assim, 2 = -4a + 7.

4a = 7 - 2 = 5

a = 5/4 = 1,25

Logo, a expressão que representa essa função é y = 1,25x + 7 (opção D)



Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-1 , 0) e (0 , -2).
Solução: Na reta, quando x = 0, y = -2.

Graph the linear function y=-2x-2

Portanto, a função é do tipo y = ax - 2, ou seja, o coeficiente linear b = -2. Quando x = -1, y = 0. Então, -1 é a raiz da função, ou seja, a(-1) - 2 = 0. Assim, o coeficiente angular a = -2. Logo, a equação da reta é y = -2x - 2.



(UFRN) A academia Fique em forma cobra uma taxa de inscrição de R$80,00 e uma mensalidade de R$50,00. A academia Corpo e Saúde cobra uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$55,00.

a) Determine as expressões algébricas das funções que representam os gastos acumulados em relação aos meses de aulas, em cada academia.

b) Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que pretende "malhar" durante um ano? Justifique, explicando o seu raciocínio.


Solução: Seja y o gasto e x o número de meses de aula.

a) Na Fique em forma temos a função y = 50x + 80.

Na Corpo e saúde temos a função y = 55x + 60.

b) Na academia Fique em forma, "malhar" 1 ano (12 meses) custa y = 50.(12) + 80 = 600 + 80 = 680,00.

Na academia Corpo e saúde, "malhar" 1 ano (12 meses) custa y = 55.(12) + 60 = 660 + 60 = 720,00.

Logo, a Fique em forma oferece menor custo para quem pretende malhar durante 1 ano.



Numa fábrica, o custo C de produção de x litros de certa substância é dado pela função C(x), com x maior ou igual a zero, cujo gráfico está representado abaixo.
Gráfico da função custo
O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?

Solução: O gráfico representa a função do primeiro grau: C(x) = ax + b.
Quando x = 0 , C(x) = 400. Quando x = 8 , C(x) = 520. Então, 400 = a(0) + b = b.
Segue que, 520 = 8a + b = 8a + 400. Assim, o coeficiente angular a = (520 - 400) / 8 =  120 / 8 = 15.
Logo, a equação da reta é: C(x) = 15x + 400. Se o custo é C(x) = 700, então, 15x + 400 = 700.
Segue que, x = (700 - 400) / 15 = 300 / 15 = 20. Concluindo: O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de 20 litros.


(UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Tabela custo por minuto + custo fixo

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?


Solução: a) O preço y depende (está em função) do tempo x em minutos.
Então, no plano A temos a função y = 0,5x + 35 = 0,5(25) + 35 = 12,5 + 35 = 47,50.
No plano B temos y = 0,8x + 20 = 0,8.(25) + 20 = 40,00.
No plano C temos y = 1,2x = 1,2.(25) = 30,00.
Assim, o plano C é o mais vantajoso (mais barato) para alguém que utilize 25 minutos por mês.

b) Este problema pode ser resolvido com o uso de gráficos:

Três retas concorrentes

Observando os coeficientes angulares (1,2 > 0,8 > 0,5) das retas, temos que o preço do plano C aumenta com mais rapidez que o preço do plano B. Este, por sua vez, cresce com mais rapidez que o preço do plano A. Então, existe um tempo x onde as retas se encontram, ou seja, existe um x onde 0,5x + 35 = 1,2x e 0,8x + 20 = 1,2x e 0,5x + 35 = 0,8x + 20 .
Resolvendo a primeira equação encontramos 35 = (1,2 - 0,5) x .
Logo x = 35 / (1,2 - 0,5) , o que implica em x = 35 / 0,7 = 350 / 7 = 50 minutos.
Concluindo, o plano A é mais vantajoso (menor custo) que os outros dois a partir de 50 minutos de uso mensal.



(UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo:

Função Afim

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:
(A) 20 min
(B) 30 min
(C) 40 min
(D) 50 min


Solução: Antes das 15 horas temos uma função do primeiro grau que cresce com menor rapidez. A partir das 15 horas o gráfico é uma função do primeiro grau que cresce com maior rapidez.

Para x = 15, y = 30000. Para x = 17, y = 90000. Como y = ax + b, temos o sistema:

30000 = 15a + b  

e

90000 = 17a + b

Uando o método da adição, segue:

60000 = 2a

a = 30000

Susbstituindo na primeira:

30000 = 15(30000) + b

b = - 420000

Então a função é y = 30000x - 420000.

Quando y = 450000, temos:

45000 = 30000x - 420000

45000 + 420000 = 30000x

x = 465000 / 30000 = 15,5 horas = 15 horas + 0,5 horas

x = 15 horas e 30 minutos (alternativa B).


Sejam as retas: y = 2x - 3 e y = x - 2. Em que ponto do plano cartesiano estas retas se encontram?


Solução: As retas se encontram no ponto (x , y),

Duas retas concorrentes

onde o par de números reais x e y é solução do sistema de equações:

y = 2x - 3

e

y = x - 2 .

Então: 2x - 3 = x - 2. segue que, 2x - x =  -2 + 3 , o que implica em x = 1.

Substituindo x = 1 em uma das equações do sistema, temos: y = 1 - 2 = -1. Logo, as retas se encontram no ponto (1 , -1).



Se f(x) = 2x + 3 ,  g(x) = ax+b  e  a função composta f(g(x)) = 8x + 7 , calcule a + b.
Solução: Se a função f(x) composta com g(x) é 8x + 7, temos:

f(g(x)) = 2(ax + b) + 3 = 2ax + 2b + 3 = 8x + 7.

Daí vem que:

2a = 8 e 2b + 3 = 7

Assim,

a = 4  e b = 2.

Logo, a + b = 6.



De duas cidades, Bauru e São Paulo, que distam 315 km, partem ao mesmo tempo dois trens. O de Bauru se dirige a São Paulo e o de São Paulo se dirige a Bauru; o primeiro com velocidade média de 60 km por hora e o segundo, 45 km por hora. Determine o tempo que o primeiro trem demora para cruzar com o segundo.
Solução: Quando os trens se cruzarem, juntos terão rodados 315 km, ou seja, isso é equivalente a "um único" trem correndo a 60 km/h + 45 km/h = 105 km/h. Se esse "único trem" leva 1 hora para percorrer 105 km, então, para percorrer 315 km levará 315/105 = 3 horas. Desta forma, os trens se cruzarão após 3 horas de percurso.

Outro método de resolução: Este problema pode ser resolvido com o uso de gráficos (duas retas).
Sejam as funções: y = 60x e y = 315 - 45x , onde x é o tempo em horas e y é o espaço percorrido em km.

O coeficiente angular da reta é a velocidade média:

velocidade = delta y / delta x .

O coeficiente linear da reta é a posição inicial do trem.

A reta decrescente representa o segundo trem. A reta crescente representa o primeiro trem.

Interseção entre duas retas.

A interseção destas retas é a solução do problema, ou seja, solução do sistema de equações:

y = 60x e y = 315 - 45x.

Logo, 60x = 315 - 45x.

Assim, teremos x = 315 / (60 + 45) = 3 horas.




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