Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a
(A) uma volta completa.
(B) uma volta e meia.
(C) duas voltas completas.
(D) duas voltas e meia.
(E) cinco voltas completas.
Solução: Um arco de circunferência de uma volta mede 360°. Um arco de circunferência de meia volta mede 180°. Um arco correspondente a duas voltas tem 720°. Assim, um arco de circunferência que mede 900° tem 900/360 = 2,5 voltas. De fato 900 = 360×2 + 180°. Logo, a resposta procurada está na alternativa (D).
(SAERJ) A figura a seguir representa uma pista de corrida perfeitamente circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy e alguns pontos. Veja a representação abaixo.

Ciclo trigonométrico. Veja aqui

Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente a um ângulo de 230°, ele estará entre os pontos
(A) A e B
(B) B e C
(C) C e D
(D) D e A


Solução: A resposta se encontra na alternativa (C). O sistema de eixos ortogonais divide o círculo em quatro regiões (quadrantes). De A para B, temos o 1º quadrante; de B para C, o 2º quadrante; de C para D, o 3º quadrante; de D para A, o 4º quadrante. Cada quadrante corresponde a um arco de 90° (ângulo reto). O arco (ou ângulo) que começa em A e tem extremidade em B, mede 90°. O arco que começa em A e termina em C, mede 180°. O arco que começa em A e vai até D tem 270°. O arco que vai de A até A, dando uma volta completa, tem 360°. Como 180°<230°<270°, ao correr 230°, ele estará entre os pontos C e D.

(UFRN) Se um ângulo mede 40°, então, sua medida em radianos vale:
graus para radianos

Solução: Um radiano (1 rad) é o arco cujo comprimento é igual ao raio r da circunferência que o contém.
Então, 1 rad = 1r; 2 rad = 2r; 3 rad = 3r;
pi radianos = 180 graus, veja o vídeo aqui.

Então, temos a regra de três:
40 graus ------------------- x radianos.
180 graus ------------------- PI radianos;
x=2PI/9
Concluindo, o ângulo (ou arco) procurado se encontra na alternativa (C).



O ciclo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu raio mede 1. É usado para ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente para arcos (ângulos) com medidas quaisquer (maiores que 90°, por exemplo).

O ciclo trigonométrico. Veja aqui

Considere o ciclo trigonométrico acima, observe as simetrias e calcule:

a) sen 150 = ..................

b) cos 225 = ..................

c) sen 1950 = ................



Solução: A medida do raio do círculo trigonométrico é 1 unidade. Logo, as hipotenusas dos triângulos retângulos formados pelos ângulos no ciclo  medem 1. Consequentemente, o seno do ângulo fica no cateto oposto e o cosseno fica no cateto adjacente.

Relações fundamentais da Trigonometria

Por simetria, conclui-se que o seno fica no eixo vertical e o cosseno no eixo horizontal.

Resolvendo os itens a) e b) temos:

sen 150 = sen 30 = 0,5 e cos 225 = - cos 45 = - 0,7071...

Resolvendo o item c), segue que 1950 corresponde a um pouco mais que 5 voltas. Descontando as voltas, temos que 1950° = 5360° + 150°. Dizemos que 1950° é congruente a 150°.

Assim, sen 1950° = sen 150° = 1/2.


(ENEM) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
Função periódica, fenômenos periódicos
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
(A) 12765 km.
(B) 12000 km.
(C) 11730 km.
(D) 10965 km.
(E) 5865 km.

Solução: Observando o ciclo trigonométrico (acima), podemos representar no plano cartesiano as variações dos valores do seno e do cosseno.
Veja aqui, gráficos das funções trigonométricas seno e cosseno.
Observe que o valor do cosseno (e também do seno) varia de -1 a 1.
Então, r atinge o apogeu quando o cos(0,06t) = -1, ou seja, quando r = 5865/(1-0,15) = 5865/0,85 = 6900.
Segue que, r atinge o perigeu quando cos(0,06t) = 1, isto é, quando r = 5865/(1+0,15) = 5865/1,15 = 5100.
Logo, S atinge o valor de 6900+5100 = 12000 (alternativa B).


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