Professor Ezequias.

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(UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas está sempre firme. Explique.
Solução: A Geometria nos diz que "Três pontos não colineares, no espaço, determinam um único plano".

O tripé e o postulado da determinação.

Isso significa que por três pontos não situados numa mesma Reta (ou por três pontos não alinhados) passa só um plano que os possui. Assim, as três pernas determinam sempre um único plano de fixação, portanto, não há oscilação.

Já quatro pernas determinam mais de um plano. Pela Análise combinatória, o número de planos determinados pelos quatro pontos é o número de combinações de 3 pontos escolhidos entre 4 pontos, ou seja, é C4,3 =  4×3×2 / 3! = 4 planos. Logo, neste caso pode ocorrer oscilação.



(UERJ) Você sabia? Se o valor de x estiver expresso em radianos, os valores de sen x e cos x podem ser aproximadamente representados, respectivamente, por: sen x = x e cos x = 1 - x/2.
A partir da informação acima, assinale a opção que contém o valor máximo da expressão: sen x + cos x.
(A) 1
(B) -1
(C) 3/2
(D) -3/2

Solução: Seja a função f(x) = sen x + cos x.

gráfico da função
trigonométrica f(x) = sen x + cos x

Se o valor de x está expresso em radianos, então podemos considerar, aproximadamente,
f(x) = x + 1 - x/2 = (-x/2) + x + 1 = (-1/2)x + x + 1, que é uma função do segundo grau (ou quadrática).

PARABOLA y=ax+bx+c, onde a=-1/2, b=1 e c=1

O valor máximo (ou mínimo) da função f(x)= ax² + bx + c é a coordenada yv do vértice V da parábola:

y do vértice = menos delta dividido por 4a = 3/2

Temos que DELTA = b-4ac = (1)2 - 4(-1/2)(1) = 3.

Assim, o valor máximo da expressão é:  (-3)/4(-1/2) = (-3)/(-2) = 3/2 = 1,5. Logo, (C) é a alternativa correta.



O cálculo da área de figuras em um plano cartesiano tem sido uma ferramenta muito importante na Engenharia, Estatística, Física e Economia. Calcule as áreas das superfícies sombreadas das figuras abaixo (considere o cm como unidade):

(I)
Área sob uma curva (itegral definida)

(II)
Área sob uma curva (integral definida)


Solução: No plano cartesiano (I), a figura é formada por 8 retângulos.
Calculando as áreas dos 8 retângulos, obtemos:
A1 = 1 × 4 = 4 cm ; A2 = 1 × 2 = 2 cm ; A3 = 1 × 3 = 3 cm ; A4 = 1 × 5 = 5 cm ;
A5 = 1 × 3 = 3 cm ; A6 = 1 × 4 = 4 cm; A7 = 1 × 1 = 1 cm ; A8 = 1 × 2 = 2 cm.
A área total A = 4 + 2 + 3 + 5 + 3 + 4 + 1 + 2 = 24 cm.

No plano cartesiano (II), a figura é formada por 1 retângulo e 2 triângulos.
O cálculo da área do retângulo é A1 = 6 × 3 = 18 cm.
A área do triângulo é A2 = 2 × 2 / 2 = 2 cm.
A área do outro triângulo é A3 = 1 × 3 / 2 = 3 / 2 = 1,5 cm.
Assim, a área total é A = 18 + 2 + 1,5 = 21,5 cm.



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