Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(CESGRANRIO) O número máximo de latas cilíndricas de 8cm de altura e 3cm de raio que podem ser guardadas em uma caixa cúbica de 1m³ de volume corresponde a:
(A) 384
(B) 768
(C) 1536
(D) 2304
(E)3072

Solução: Um cubo de 1m3 tem: 1m de comprimento, 1m de largura e 1m de altura.

A base do cilindro é um círculo de diâmetro igual a 2×3cm = 6cm = 0,06m.

Como 1/0,06 = 100/6 = 16,666... , segue que, na base da caixa cabem no máximo 16×16 círculos.

A altura do cilindro é 8cm = 0,08 m.

Como 1/0,08 = 100/8 = 12,5, então o número máximo de cilindros é 16×16×12 = 3072 (opção E).



(CBMERJ) Num determinado concurso foram aprovados 540 candidatos. Sabendo que para cada 45 candidatos do sexo masculino foram aprovados 30 candidatos do sexo feminino, então o número de candidatos do sexo feminino aprovado foi de:
(A) 54
(B) 108
(C) 216
(D) 324
(E) 432

Solução: Considere x o número de candidatos aprovados e y o número de candidatas aprovadas, onde x+y = 540 candidatos aprovados no concurso. Desta forma, temos a proporção:

x / y = 45 / 30 = 3 / 2

x / 3 = y / 2 = (x+y) / (3+2) = 540 / 5 = 108

x = 3 × 108 = 324 canditados

y = 2 × 108 = 216 candidatas.

Logo a alternativa correta é a (C).



Uma prova de vestibular contém dez questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual o número de maneiras de preencher a folha de resposta? 
Solução: Resolver essa prova de vestibular representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há 5 possibilidades de escolha de resposta.
Então, pela análise combinatória temos: 5×5×5×5×5 ×5×5×5×5×5 = 510 = 9765625 maneiras.

(UFAM) A quantidade de triângulos distintos que se pode formar com os vértices de um octógono regular é igual a:
(A) 32
(B) 56
(C) 64
(D) 72
(E) 84

Solução: Para construir um triângulo precisamos escolher 3 pontos (vértices) dentre os 8 pontos (vértices) disponíveis do octógono, e mais, a ordem com que esta escolha é feita não tem importância. Pela Análise Combinatória, o número de triângulos é o número de combinações de 8 elementos, tomados 3 a 3, isto é, C8,3 = 8×7×6 / 3! = 56 (opção B).

(MESP) Um quiliógono é um polígono de 1000 lados. Quantas diagonais tem um quiliógono convexo?
Solução: Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. O número de diagonais d de um polígono convexo de n lados (portanto de n vértices) é o número de combinações de 2 vértices escolhidos entre n vértice menos o número n de lados, ou seja, d = Cn,2 - n =  [n(n-1)/2!] - n . Simplificando a expressão, vem que d = n(n - 3) / 2. Logo, para n = 1000, teremos: d = (1000×997) / 2 = 498.500 diagonais.

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