Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(UFRJ) O painel de um automóvel indica o consumo médio de combustível da seguinte forma:

12,5 L / 100 km

Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível.


Solução: A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas medidas, consideradas na mesma unidade. O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Indica explicitamente quantas vezes o primeiro número contém o segundo (não necessariamente um valor inteiro). Toda fração é também uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. A fração é uma forma de expressar o quociente de dois números inteiros enquanto que a razão é o resultado do quociente entre dois números. A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Se o quilômetro percorrido aumenta, o consumo médio de combustível (em litros) também aumenta na mesma proporção (grandezas diretamente proporcionais).

Seja a proporção: 12,5 / 1 = 100 / x , onde x é o valor procurado.

Dizemos que 12,5 litros está para 100 km assim como 1 litro está para x km e escrevemos:

12,5 litros -------------- 100 km ,
1 litro ----------------- x km.

Multiplicando "em cruz", segue que: 12,5x = 100

x = 100/12,5 = 1000/125 = 8

Logo, com 1 litro, esse automóvel percorre em média 8 km.



De um grupo de 50 jovens, 20 praticam basquete. Determine a razão entre o número de pessoas que jogam basquete e o total.
Solução: A razão é 20/50 = 2/5 , o que equivale a dizer que "de cada 5 jovens  neste grupo, 2 jogam basquete".
Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta?
Solução: Se o "peso" da criança aumenta, a dosagem também aumenta na mesma proporção (grandezas diretamente proporcionais), ou seja, temos a proporção: 5 / x = 2 / 12. Dizemos que, 5 gotas está para 2 kg assim como x gotas está para 12 kg e escrevemos:

5 gotas ------------------ 2 kg ,
x gotas ----------------- 12 kg.

Portanto, multiplicando "em cruz", segue que 2x = 60.

Logo x = 60/2 = 30 gotas.

Este procedimento é usualmente chamado de " REGRA DE TRÊS SIMPLES".


Um carro de corrida, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?
Solução: Quando a velocidade aumenta, o tempo do percurso diminui na mesma proporção. Quando a velocidade diminui, o tempo do percurso aumenta na mesma proporção. Dizemos que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais. Portanto, temos que inverter uma das razões da proporção.
400/480=x/3
Multiplicando "em cruz", segue que

480x = 1200

x = 1200 / 480 = 5 / 2 = 2,5 horas.

x = 2 horas + meia hora = 2 horas e 30 minutos.


Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de fazenda de 0,82 m de largura. Quantos metros da mesma fazenda, de 1,23 m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio?
Solução: Vamos comparar cada grupo de grandezas com o grupo em que estiver o termo desconhecido x. Se aumentarmos o comprimento da fazenda (considerando que  largura não varia), o "peso" da fazenda aumenta (diretamente proporcional). Se aumentarmos a largura (considerando que o "peso" não varia),  o comprimento deve diminuir  (inversamente proporcional). Então, a razão desse grupo de grandezas inversamente proporcionais deve ser invertida, a fim de tomar o mesmo sentido das grandezas diretamente proporcionais. Conserva-se a razão que tem x e multiplicam-se entre si as demais razões:

( 120 x 30 x 0,82 ) / ( 24 x 1,23 )  = 2952 / 29,52 = 100 m.

O procedimento adotado nesse exemplo é comumente chamado de "REGRA DE TRÊS COMPOSTA".


Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada  sócio.
Solução: Para cada sócio, a razão entre o lucro e o dinheiro investido é igual a razão entre o lucro total da sociedade e o total investido pela sociedade. Então, temos a proporção:
divisão proporcional
Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3.  

Logo:  A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ;  B = R$ 30.000,00 × 2/3 = R$ 20.000,00 ;  C = R$ 36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00.

Este procedimento é usualmente chamado de "REGRA DE SOCIEDADE " ou DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.


(TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos?
Solução: Sendo A a parte do mais novo, B a parte que cabe ao do meio, C a parte do mais velho, vamos usar um método conhecido como: DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Desse modo, temos a proporção:
divisão proporcional - mmc
Logo: 24A = 30B = 36C = 1080
A = 1080/24 = 45;
B = 1080/30 = 36;
C = 1080/36 = 30 .

Assim, o técnico de 30 anos recebeu 36 computadores.


Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1 : 40. As dimensões da miniatura são: comprimento 12,5 cm e largura 5 cm. Quais as dimensões reais do automóvel?
Solução: Seja x o comprimento real e y a largura real. Temos que a razão (escala) entre a minutura e o tamanho real é 1/40.

Como a miniatura é diretamente proporcional ao tamanho real, temos as proporção:

1/40 = 12,5/x = 5/y.

Daí, vem que: x = 40 × 12,5 = 500 cm = 5 m ; y = 40 × 5 = 200 cm = 2 m.



Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício projeta uma sombra de 9 m. Qual é altura do edifício?
Solução: Seja H a altura do edifício. A altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais. Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = H / 9. O que implica em H = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m

Por outro lado, como a sombra e a altura formam um ângulo de 90 graus, segue que a sombra e a altura são catetos de um triãngulo retângulo. Logo, temos dois triângulos retângulos semelhantes, com razão de semelhança igual a k.

escala, homotetia, figuras semelhantes, teorema de thales

Pelo Teorema de Tales, os lados correspondentes dos triângulos semelhantes são proporcionais.

Então, temos a proporção:

1 / 0,5 = H / 9.  Assim, H = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m .

NOTA: Em trigonometria dizemos que na proporção H/S = h/s = k, o valor de k  é a tangente do ângulo alfa.



(ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto?
Solução: Temos que  2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais, temos a proporção:

180/60 = H/200, onde H é a altura do poste.

Vem que, 3 = H/200 , o que implica em: H = 3 × 200 = 600 cm. Mais tarde teremos a proporção:

180/x = 600/(200-50) = 600/150 = 4.

Então, 180 = 4x. Logo: x = 180/4 = 45 cm.

Este problema poderia ser resolvido de outra maneira.

Observe que a sombra do poste diminuiu de 50/200 = 1/4.

Então a sombra da pessoa também diminuiu de 1/4.

Segue que a sombra da pessoa diminuiu de 1/4 × 60 = 15.

Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm.



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