Professor Ezequias.

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Situações (experimentos) como sortear um ás de ouros do baralho, ou obter “face 6” ao jogar um dado, ao acaso, são considerados eventos aleatórios. Quando lançamos, ao acaso, um dado, há seis possibilidades quanto a face que ficará voltada para cima: A probabilidade de sair o número 5 é  de 1 em 6, ou seja, 1/6 = 0,166... = 16,6%. A probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em 6, isto é, 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%. Calcule a probabilidade de sair:

a) um número primo.

b) um número maior que 6.

c) um número menor que 7.

d) um número maior ou igual a 3.


Solução: A expressão utilizada no enunciado para o cálculo da probabilidade (definição clássica) é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.

O número de casos (resultados) possíveis (espaço amostral) é o número de elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto é, 6.

a) Número natural primo é aquele que possui apenas dois divisores: ele mesmo e o um. O número de casos favoráveis é 3, pois, é o número de elementos do conjunto dos primos {2, 3, 5}.

Logo, a probabilidade é 3/6 = ½ = 0,5 = 50%.

b) O conjunto de resultados favoráveis é um conjunto vazio. Assim, a probabilidade é 0/6 = 0 = 0% (evento impossível).

c) O conjunto de resultados favoráveis é um conjunto de 6 elementos (todos os resultados possíveis). Então, a probabilidade procurada é 6/6 = 1 = 100% (evento certo).

d) O conjunto de resultados favoráveis é o conjunto {3, 4, 5, 6}, com 4 elementos. A probabilidade vale 4/6 = 2/3 = 0,666... = 66,6%.





Uma urna contém 10 bolas pretas, 2 bolas brancas e 6 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade da bola sorteada não ser amarela?
Solução: A probabilidade da bola não ser amarela é a probabilidade da bola ser branca ou preta.

O número de resultados favoráveis é 10+2 = 12. O número de resultados possíveis é 10+2+6 = 18.

Logo, a probabilidade da bola sorteada não ser amarela é P = 12/18 = 2/3 = 0,666... = 66,6%.



(SAERJ) Observe o resultado de uma pesquisa na classe de Júlia.
tabela
Escolhendo ao acaso um aluno dessa classe qual é a probabilidade de que ele tenha computador?
(A) 1/5
(B) 2/5
(C) 3/5
(D) 2/3
(E) 3/2
Solução: O número de resultados favoráveis é 18.

O número de resultados possíveis é 18 + 12 = 30

Assim, a probabilidade é 18/30 = 3/5 = 0,6 = 60%.

Logo, a  resposta se encontra na alternativa (C).



Num baralho normal de 52 cartas há 13 cartas (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouros, paus e espadas). De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas é retirada uma carta ao acaso.

a) Qual a probabilidade de ser um valete?

b) Qual a probabilidade de ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa?


Solução: a) O número de casos possíveis é 52 + 2 = 54. Como existem 4 valetes, então, o número de casos favoráveis é 4.

Então, a probabilidade de ser um valete é P(Valete) = 4 / 54 = 0,074 = 7,4%.

b) Como as 4 cartas com número 2 também são consideradas coringas, o número de casos favoráveis é 4 + 2 = 6.

Assim a probabilidade de tirar um coringa é P(coringa) = 6 / 54 = 0,111... = 11,1%.


(UFJF) Ao lançarmos dois dados a probabilidade de obtermos resultados cuja soma é sete é:
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 1/5
(E) 1/6
Solução: Podemos contar todos os resultados possíveis, no lançamento de 2 dados, construindo a tabela abaixo.

jogo de dados

Os resultados 2 e 12 aparecem 1 vez. Os resultados 3 e 11 aparecem 2 vezes. Os resultados 4 e 10 aparecem 3 vezes. Os resultados 5 e 9 aparecem 4 vezes. Os resultados 6 e 8 aparecem 5 vezes. O resultado 7 aparece 6 vezes.

O número de resultados favoráveis é 6. O número de resultados possíveis é 6×6 = 36.

Assim, a probabilidade é P = 6/36 = 1/6 = 0,16666... = 16,6%.

Logo, a alternativa correta é a (E).





(UNESP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é:
(A) 1/6
(B) 4/9
(C) 2/11
(D) 5/18
(E) 3/7

Solução: Observe a tabela do problema resolvido anterior.

Número de casos favoráveis a dar resultado 7 ou 9 é 6 + 4 = 10.

Número de casos possíveis é 6×6 = 36.

Assim, a probabilidade de dar 7 ou de dar 9 é 10/36 = 5/18 = 0,277... = 27,7% (opção D).



(UEL) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear?
(A) 0,26
(B) 0,50
(C) 0,62
(D) 0,76
(E) 0,80
Solução: Vamos representar Cálculo diferencial pelo pelo conjunto C e Álgebra linear pelo conjunto A no diagrama de Venn-Euler a seguir, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção.

cardinalidade da união

Observe que: 70 + 130 + 50 + 250 = 500.

Assim, o número de resultados favoráveis é o número de elementos do conjunto C união com A: 70 + 130 + 50 = 250.

O número de resultados possíveis é o total de 500 estudantes da área de exatas.

Logo, a probabilidade é P(C ou A) = 250/500 = 1/2 = 0,5 = 50% .

Portanto, a opção correta é (B).



(UNIRIO) Num grupo de 100 pessoas, 70 têm sangue com fator RH positivo e 45 têm sangue tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O?
Solução: Seja x o número de pessoas que têm sangue RH positivo e têm também sangue tipo O. Representando os conjuntos por meios de diagramas de Venn-Euler, segue que: 70 - x + x + 45 - x = 100.

diagramas de Venn-Euler

Daí, vem que, 70 + 45 - x = 100. Então, x = 115 - 100 = 15. Assim, o número de pessoas com sangue do tipo diferente de O é:  70 - 15 = 55.
O número de resultados favoráveis é 55. O número de resultados possíveis é 100.
Logo, a probabilidade é P = 55/100 = 0,55 = 55%

De uma outra maneira mais rápida.
Temos 45 pessoas com sangue tipo O, então, o número de pessoas com sangue do tipo diferente de O é: 100 - 45 = 55.
A probabilidade é de 55/100 = 0,55 = 55%.


Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:

tabela

a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:

I) Morena?

II) loira de olhos azuis?

III) loira ou ter olhos azuis?

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos azuis. Qual a probabilidade de que ela seja loira?


Solução:  Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, observando que:
Se existe interseção, o conectivo "ou" está associado à união de conjuntos (Princípio aditivo da contagem), e o conectivo "e" está associado à interseção de conjuntos.
Se não existe interseção (caso de eventos mutuamente exclusivos), o conectivo "ou" está associado à soma.
No caso de eventos sucessivos e independentes o conectivo "e" está associado a multiplicação (consequência do Princípio Fundamental da Contagem).

a) O número de casos possíveis é o total de 50 moças.

I) O número de casos favoráveis a menina escolhida ser morena é o total de 18 morenas.

Portanto, a probabilidade  de ser morena é P = 18 / 50 = 9 / 25 = 0,36 = 36%

II) Cruzando os dados na tabela, vemos que o número de casos favoráveis a menina escolhida ser loira e ter olhos azuis (interseção de conjuntos) é 17.

Então, a probabilidade de ser loira de olhos azuiz é P = 17 / 50 = 0,34 = 34%.

III) O número de casos favoráveis a menina escolhida ser loira ou ter olhos azuis é o número de elementos da união do conjunto da loiras com o conjunto das moças com olhos azuis: 26 + 24 - 17 = 33.

Diagrama de Venn-Euler

De outro modo, usando o diagrama de conjuntos acima, o número de casos favoráveis é 7 + 17 + 9 = 33.

Logo, a probabilidade procurada é P = 33 / 50 = 0,66 = 66%.

b) O fato de você perceber que a garota tem olhos azuis, significa que o número de casos possíveis não é mais 50 (eventos dependentes). O número de casos possíveis agora é o total de moças de olhos azuis, ou seja, é 24 moças. O número de casos favoráveis a menina escolhida ser loira é 17.

Logo a probabilidade procurada é P = 17 / 24 = 0,708333... = 70,8%

Este procedimento é chamado de cálculo da probabilidade da ocorrência do evento A sabendo-se que já ocorreu o evento B ou seja, Probabilidade condicional.


(CESGRANRIO) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale:
(A) 1/6
(B) 2/9
(C) 4/9
(D) 16/81
(E) 20/81

Solução: Nesse problema podemos usar a análise combinatória.

Número de casos favoráveis (tirar 2 bolas brancas, sucessivamente e sem reposição) = 4 × 3 = 12 ;

Número de casos possíveis (tirar 2 bolas, sucessivamente e sem reposição) = 9 × 8 = 72 .

A probabilidade de que ambas sejam brancas é: 12/72 = 1/6 = 16,6% (alternativa A).


(ESAF) Num sorteio concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
(A) 15%
(B) 5%
(C) 10%
(D) 30%
(E) 20%

Solução: Como os números  múltiplos de cinco (5, 10, 15, ..., 50) formam uma PA de razão r = 5, a1 = 5 e an = 50, temos que: 50 = 5 + 5(n-1). Então n = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10. Sendo 1 o número de casos favoráveis e 10 o número de casos possíveis, segue que a probabilidade procurada é 1/10 = 0,1 = 10% (resp C).

No jogo da Mega-Sena são sorteados seis números distintos de 1 a 60. Não importa a ordem em que os números são sorteados, mas apenas quais deles foram sorteados. Podemos apostar em uma sena (escolhermos seis números apenas), mas pode-se apostar em mais de seis números em um mesmo jogo. Podemos marcar sete, oito, nove ou dez números num mesmo cartão, o que vai custar mais caro, proporcionalmente ao aumento de nossa "chance" de acertar. Qual a probabilidade que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma única aposta de oito números?

Solução: O número de resultados possíveis para o sorteio é a quantidade de combinações que podemos formar com os 60 números, agrupados seis a seis, ou seja,
C60,6 = (60×59×58×57×56×55) / 6! = 50063860.

O número de quantidade de senas com as quais estamos concorrendo  (resultados favoráveis) é o número de combinações que podemos formar com os 8 números, agrupados seis a seis, isto é,
C8,6 = 8 × 7 / 2! = 28.

Logo, a probabilidade de acertar é 28 / 50063860 , o que significa que a "chance" de acertar é de 28 em um total de 50.063.860 casos, ou seja, 0,000056% aproximadamente.



Um casal decidiu que vai ter 5 filhos. Qual seria a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos?


Solução:  A ação é constiuída de 5 etapas. Para cada etapa existem 2 possibilidades (menino ou menina). Pelo PFC, o número de casos possíveis é 2×2×2×2×2 = 32.

O número de casos favoráveis é o número de maneiras de ter pelo menos 2 meninos (dois meninos ou mais), ou seja, de ter 2 meninos e 3 meninas, ou, 3 meninos e 2 meninas, ou, 4 meninos e 1 menina, ou, 5 meninos e 0 meninas. Observe que estamos contando permutações com repetições, então o número de casos favoráveis é:

5!/(2!×3!) + 5!/(3!×2!) + 5!/(4!×1!) + 5!/(5!×0!) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26

Em outras palavras, dos 5 filhos, sem importar a ordem de escolha, temos que escolher 2 meninos, ou, 3 meninos, ou, 4 meninos, ou 5 meninos, isto é,  o número de casos favoráveis é:

C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 10 +10 + 5 + 1 = 26

Logo, a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos é P = 26/32 = 13/16 = 81,25%





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