Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina.
a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura.      
b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura.

Solução: A porcentagem é apenas uma maneira mais conveniente de representar uma razão ou fração com denominador 100.

Como a mistura tem 20 + 30 = 50 litros, então:

a) A razão entre o volume de álcool e o total é 30/50 = 60/100 = 0,6 = 60%

b) A razão entre o volume de gasolina e o total é: 20/50 = 40/100 = 0,4 = 40%



Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas defeituosas.
Solução: A razão entre o número de lâmpadas com defeito e o total é : 13/50 = 26/100 = 0,26 = 26%.

Dizemos, então, que a taxa percentual de lâmpadas defeituosas é 26% .

OBS: Isto significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com defeito.

Escolhendo ao acaso uma lâmpada deste lote, a Probabilidade da lâmpada sorteada ser defeituosa é 26%.





De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados.
Solução: Se a taxa de reprovação foi de 15%, significa que de cada 100 candidatos, 15 foram reprovados, ou seja, 15% = 15/100 = 3/20 = 0,15 .

Seja N o número de reprovados em um total de 380 candidatos.

Usando o conceito de Proporção, segue que:

N -------------------- 15
380 ---------------- 100

Ou seja,

N/380 = 15/100.

Multiplicando "em cruz", temos: 100N = 380×15

Logo, o número de reprovados é quinze por cento de 380, isto ,

N = 380×15/100 = 380 × 0,15 = 57.


(CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 20% da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo.
Solução: A mata virgem corresponde a 100% - 20% = 80% da área total da floresta.
Assim, o incêndio destruiu 30% de 80% = (30/100)×(80/100) = 0,3 × 0,8 = 0,24 = 24% da floresta.

Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar?
Solução: Temos que 20% de 32 = 32×20/100 = 32 × 0,2 = 6,40. Logo o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40.
Em outras palavras, como 32 + 0,2 × 32 = 32×(1 + 0,2), então podemos fazer simplesmente: 32 × 1,2 = R$ 38,40.

Note que calcular um valor com aumento de 20% é o mesmo que calcular 120% do valor, ou seja, multiplicar por 1,2. Logo: aumentar 17% é o mesmo que multiplicar por 1,17; aumentar 1,5% é o mesmo que multiplicar por 1,015; aumentar 55% é o mesmo que multiplicar por 1,55; e assim por diante.


Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto passaria a custar?
Solução: Temos que 20% de 32 = 32 × 0,2 = 6,40. Logo a bolsa passaria a custar: 32 - 6,40 = R$25,60.
Este problema pode ser resolvido de outra maneira. Como 32 - 0,2 × 32 = 32×(1 - 0,2) , então podemos simplesmente fazer: 32 × 0,8 = R$ 25,60 .

Observe que calcular um valor com desconto de 20% é o mesmo que calcular 80% do valor, isto é, multiplicar por 0,8. Logo: diminuir 17% é o mesmo que multiplicar por 0,83; descontar 55% é o mesmo que multiplicar por 0,45; descontar 60% é o mesmo que multiplicar por 0,4; e assim sucessivamente.



Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento.
Solução: Chamando de i a taxa percentual do aumento, segue que 24 + 24i = 30.
Então, i = (30-24)/ 24 = 6/24 = 0,25 = 25%.

Em outras palavras, o aumento foi de 30 - 24 = 6, sobre o valor inicial de 24, ou seja: 6/24 = 1/4 = 0,25 = 25%.


Se um artigo aumentou em 25%, de quanto por cento ele deve diminuir para voltar ao preço antigo?
Solução: Seja P o preço antigo e i a taxa percentual de desconto. Assim, P × 1,25 × (1 - i) = P  . Então, 1,25 × (1 - i) = 1. Daí vem que: 1 - i = 1 /1,25 = 100/125 = 4/5 = 0,8 .
Logo, a taxa i = 1 - 0,8 = 0,2 = 20%.

Em outras palavras, se o preço era 100, o preço com aumento é 125. Para retornar ao preço antigo, ele deve sofrer um desconto de 25 em relação a 125, isto é, 25/125 = 0,2 = 20%.

OBS: Sempre podemos tomar o preço igual a 100; basta tomar como unidade de preço um centésimo do preço do produto.


Um produto teve três aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o aumento final ?
Solução: Seja P o preço. Temos que: P × 1,08 × 1,05 × 1,1 = P ×1,2474. Assim, o aumento final foi de 24,74%.

De outro modo, podemos considerar o preço como 100 reais. Então, após o aumento de 8% o preço passa valer 108 reais. Em seguida o preço de 108 reais aumenta para 113,40 (aumento de 5%). Finalmente o valor de 113,40 aumenta 10% passando a valer 124,74 reais. O que corresponde a um aumento final de 24,74 sobre 100, ou seja, 24,74 / 100 = 24,74%.


Qual o preço de uma mercadoria que custa R$100,00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente?
Solução: Preço final = 100 × 1,25 × 1,20 = 100 × 1,5 = 150. Então o preço final é R$150,00.

Observe que a taxa total de aumento ficou sendo de 50% .


Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%.
Solução: Preço final = 100 × 0,7 × 0,8 = 100 × 0,56 = 56. Logo o preço final é R$56,00.

Observe que a taxa total de desconto ficou sendo de 44%.



(BACEN) O valor de (10%)2 é:
(A) 0,01
(B) 0,1
(C) 100
(D) 0,001
(E) 10

Solução: Como 10% = 10 / 100 = 1 / 10 , então (10%)2 = (1 / 10)2 = 1 / 100 = 1% = 0,01.

Logo a alternativa correta é a (A).


(PMERJ) Dois descontos sucessivos de 50% são equivalentes a um único desconto de ...
(A) 100%
(B) 95%
(C) 75%
(D) 50%
(E) 25%

Solução: Descontar 50% é o mesmo que calcular 50%, ou seja, é o mesmo que multiplicar por 0,50 .

Então, se fizermos dois descontos sucessivos de 50% sobre R$100,00 (por exemplo) teremos: 100 × 0,50 × 0,50 = R$25,00.

Portanto, o desconto foi de 100 - 25 = R$75,00 sobre o valor de R$100,00, ou seja, o desconto foi de 75 / 100 = 0,75 = 75% (opção C).



Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$600,00 , comprometendo-se a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5% a. m. (ao mês). Calcule o valor que o comerciante deverá pagar (montante).
Solução: No regime de juros simples há pagamento de juros constantes por períodos iguais. O montante (capital + juro) cresce a cada período em Progressão Aritmética .

Daí, vem que, a fórmula para o cálculo do montante é: M = C + Cin , onde C é o capital, i é a taxa percentual (%) e n é o período de tempo. Assim, M = 600 + 600 × 0,05 × 3 = 600 + 90 = 690,00.



À taxa de 30% a. a. (ao ano), certo capital, em 8 meses, produziu, a juros simples, um montante de R$1.500,00. Qual foi o capital aplicado?

Solução: Se a taxa é anual, o tempo tem que está expresso em anos, se a taxa é mensal, o tempo tem que está expresso em meses e assim por diante. Caso contrário, devemos fazer as devidas conversões.

Como 12 meses = 1 ano, segue que 8 meses = n anos na proporção: 1/n = 12/8. Então, o tempo n = 8/12 do ano e a taxa (ao ano)  i = 30% = 0,3 .

Logo, 1500 = C + C × 0,3 × 8/12 .

Daí, vem que: 1500 = C + 0,2C = 1,2C. Logo: C = 1500 / 1,2 = 15000 / 12 = R$1.250,00 .



Oliveira aplicou R$400,00 num investimento que rende 20% a. m., a juros compostos. Calcule o montante ao final de 3 meses.
Solução: No regime de juros compostos (capitalização acumulada) o montante cresce a cada período em Progressão Geométrica. Ao final de cada período de capitalização, o montante se torna capital para o período seguinte e assim por diante. Assim, a fórmula para o cálculo do Montante é: M = C (1 + i )n , onde C é o capital, i é a taxa percentual (%) e n é o período de tempo.

Logo, M = 400 × (1 + 0,2)3 = 400 × (1,2)3 = 400 × (1,728) = R$ 691,20.


Maria dispõe de R$800,00 para investimento. Se a taxa de rendimento for de 20% a. m. e o prazo for de 4 meses, calcule o montante obtido em regime de:

a) Juros simples.

b) Juros compostos.


Solução: a) No regime de juros simples temos: M = 800 + 800 × 0,2 × 4 = 800 + 640 = R$1.440,00.

b) No regime de juros compostos temos: M = 800 × (1 + 0,2)4 = 800 × (1,2)4 = 800 × (2,0736) = R$1.658,88

OBS: O regime de juros mais praticado pelo mercado é o de juros compostos.


Silva aplicou R$ 600,00 numa caderneta de poupança que rende 10% ao mês. Como os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, calcule o montante ao final de 4 meses?
Solução: M = 600 × (1 + 0,1)4 = 600 × (1,1)4 = 600 × 1,4641 = R$ 878,46.
Duas lojas vendem determinado tipo de peça de reposição para automóveis pelo mesmo preço e estão fazendo as seguintes promoções:

LOJA A: Compre 4 peças e leve 5.

LOJA B: Compre 4 peças e pague 3.

Qual delas oferece o maior desconto?


Solução: Podemos considerar o preço igual a 100 reais.
Na loja A levamos 500, mas pagamos apenas 400, então temos um desconto de 500 - 400 = 100, sobre o valor 500, ou seja, a taxa de desconto é: 100/500 = 1/5 = 0,20 = 20%.
Na loja B levamos 400, mas pagamos apenas 300, logo temos um desconto de 400 - 300 = 100, sobre 400, ou seja, a taxa de desconto é: 100/400 = 1/4 = 0,25 = 25%.
Logo, a loja B oferece o maior desconto.

Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o valor do preço original P .
Solução: Temos que P × 1,8 × 0,8 = 72. Então, 1,44P = 72.
Assim, o preço P = 72 / 1,44 = 7200 / 144 = R$ 50,00.

Depois de um aumento de 20%, uma bolsa passou a custar R$ 38,40. Qual era o preço da bolsa antes do aumento?
Solução: Seja P o preço da bolsa antes do aumento. Então, P × 1,2 = 39,40.
Assim, P = 38,40 / 1,2 = 3840 / 120 = 32. Logo, o preço era R$ 32,00.

A taxa de inflação de um certo país é de 40% a. a.. Calcule a taxa acumulada após 2 anos.
Solução: A taxa de inflação é a taxa média de elevação dos preços dos serviços. Seja P o preço. Após dois anos temos:
P × 1,4 × 1,4 = P × (1,4)2 = P × 1,96 = P × (1 + 0,96). Logo a taxa acumulada é de 96%.

De outro modo, se o preço era 100 reais, ao final do primeiro ano o preço passaria a ser 140 reais (aumento de 40%). Ao final do segundo ano teríamos um aumento de 40% sobre o preço de 140 reais, isto é, teríamos 140 × 1,4 = 196 reais. Logo, após dois anos teríamos um aumento de 96 reais sobre um preço de 100, ou seja, 96/100 = 0,96 = 96%.


Certa mercadoria, que custava R$ 2,20 , passou a custar R$ 2,35. Calcule a taxa percentual do aumento.
Solução: O preço aumentou 2,35 - 2,20 = 0,15 sobre o valor de 2,20.
Assim, a taxa percentual do aumento foi 0,15 / 2,20 = 15 / 220 = 0,068 = 6,8 % aproximadamente.

Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 688,85. Qual era o preço do televisor antes do aumento?
Solução: Seja P o preço antes do aumento de 15%. Temos que P × 1,15 =  688,85.
Assim, o preço P = 688,65 / 1,15 = 68865 / 115 = R$ 599,00.


Em uma época na qual a inflação era de 15% ao mês, uma rede de lojas oferecia duas opções de pagamento:
I) À vista, com 30% de desconto .
II) A prazo, em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa dos juros embutidos nas vendas a prazo?

Solução: A Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento (valor) do dinheiro no tempo (valor atual, valor futuro etc.). O regime de juros mais usado pelo mercado é o de juros compostos. Neste, para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i)n, onde, i é a taxa e n é o periodo de tempo. Assim, devemos transferir todos os valores para a época do primeiro pagamento.

Considerando o preço igual a 100 segue que o valor à vista (valor atual) é 70 (desconto de 30%) e o valor a prazo é 50 + 50. A primeira prestação de 50, que é paga no ato da compra, vale 50. Já, a segunda prestação de 50 que será paga no mês seguinte, tem valor atual igual a 50 / (1 + i), onde i é a taxa de juros embutida.

Então, fazendo a equivalência das duas opções de pagamento, temos:

70 = 50 + 50 / (1 + i).

Segue que, 70(1 + i) = 50(1 + i) + 50. Daí, vem que, 20(1 + i) = 50.
Logo, (1 + i) = 50 / 20 = 2,5. Assim, i = 2,5 - 1 = 1,5 = 150/100 = 150%.
Concluímos que a loja cobrava a exorbitante taxa de juros de 150%.




| Privacidade
| Contato