Professor Ezequias.

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(FAETEC) Simplificando a expressão a seguir [(x5 + 1) - (x3 + 1)] / (x2 - 1) obtemos:
(A) x2
(B) x3 + 1
(C) x3 - 1
(D) x2 + 1
(E) x3


Solução: Fatorando a expressão algébrica (polinômio) do numerador, temos:

(x5 + 1) - (x3 + 1) = x5 + 1 - x3 - 1 =  x5x3 = x3 (x2 - 1).

Suprimindo o fator comum, desde que o fator (x2 - 1) do denominador seja diferente de zero, segue que:

x(x-1)/(x-1)=x

Assim, a resposta correta está na alternativa (E) x3



(UEL) Se o resto da divisão do polinômio P = x4 - 4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é:
(A) -5
(B) -4
(C) 5
(D) 6
(E) 8

Solução:  O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x - a)  é igual ao valor numérico de P(x) para x = a (Teorema do resto).

De fato, pelo algoritmo da divisão: P(x) = (x - a).Q(x) + R, onde Q(x) é o quociente e R é o resto.

Se x  é a raiz do binômio (x - a), ou seja, x = a, então P(a) = (a - a).Q(a) + R = (0).Q(a) + R = R.

Assim, como 5 é raiz do polinômio (x - 5), segue que:

P(5) = 54 - 4(5)3 - 5k - 75 = 10

625 - 500 - 5k - 75 = 10

50 - 5k = 10

40 = 5k

k = 40/5 = 8 (alternativa E)


Calcule o resto da divisão do polinômio (x5 - 3x2 + 2x + 6) pelo binômio (x + 1).


Solução: Para não efetuar a divisão, vamos usar o teorema do resto.

Como x = -1 é a raiz do binômio (x + 1), temos o valor numérico:

P(-1) = (-1)5 - 3(-1)2 + 2(-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = -6 + 6 = 0.

Logo, o resto da divisão é 0.



(EEAR) A equação de terceiro grau que tem como raízes os números -1 , -2 e 3 é:
(A) -x3 - 2x - 3 = 0
(B) x3 - 7x2 - 6 = 0
(C) x3 - 6x - 7 = 0
(D) x3 - 7x - 6 = 0

Solução:  Uma consequência do Teorema Fundamental da Álgebra  é o fato de todo polinômio de grau n poder ser decomposto num produto entre n fatores do primeiro grau e um fator igual ao coeficiente de xn.

Pelo Teorema de D'Alembert, se r é raiz de um polinômio na variável x, então este polinômio é divisível pelo polinômio (x - r). A recíproca deste teorema é verdadeira.

Assim, se -1, -2 e 3 são raízes de um polinômio, este pode ser decomposto no produto a(x + 1)(x + 2)(x - 3), onde a é o coeficiente de x3.

Resolvendo este produto teremos: a(x + 1)(x + 2)(x - 3) = a(x2 + 3x + 2)(x - 3) = a(x3 - 7x - 6).

Então, a equação de terceiro grau procurada é: x3 - 7x - 6 = 0, onde a = 1 (resposta D)



Simplifique a expressão algébrica: (x4 + 4x3 + x2 - 12x - 12) / (2x3 + 7x2 + 4x - 4).


Solução: Observe que x = -2 é raiz do polinômio do numerador e também é raiz do polinômio do denominador. Pelo Teorema de D'Alembert, estes polinômios são divisíveis por (x + 2).

Para simplificar, temos que dividir o numerador e o denominador por (x + 2). Podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini.

algoritmo de briot-ruffini

1 = 1

1(-2) + 4 = 2

2(-2) + 1 = -3

(-3)(-2) - 12 = -6

(-6)(-2) - 12 = 0 = resto

2 = 2

2(-2) + 7 = 3

3(-2) + 4 = -2

(-2)(-2) - 4 = 0 = resto

Como os quocientes das divisões feitas são também divisíveis por (x + 2), aplica-se o método de Briot-Ruffini novamente.

algoritmo de briot-ruffini

1 = 1

1(-2) + 2 = 0

0(-2) - 3 = -3

(-3)(-2) - 6 = 0 = resto

2 = 2

2(-2) + 3 = -1

(-1)(-2) - 2 = 0 = resto

Fatorando e suprimindo os fatores comuns, simplificamos a expressão.

Resposta: (x - 3)/(2x - 1)

A resposta é (x2 - 3)/(2x - 1) desde que o fator cancelado (x + 2) não seja zero, isto é, x diferente de -2. Para x = -2 a fração não tem sentido.

Este procedimento é muito usado no cálculo do limite das funções Racionais.



(PUC) Sabe-se que a equação x4+3x3-13x2-27x+36 = 0 admite as raízes reais a, b, c, d, com a<b<c<d e tais que a+b = -7 e c.d = 3. Se |z| é o módulo do número complexo z = a+bi, então
log |z|, na base 25
é igual a:
(A) 1/5
(B) 1/4
(C) 1/2
(D) 2
(E) 5

Solução: Vamos usar fórmulas matemáticas, que relacionam os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica, chamadas de Relações de Girard.

girard

Pelo enunciado do problema, as relações de Girard ficam assim:

a + b +c + d = -3/1 = -3

ab + ac + ad + bc + bd + cd = -13/1 = -13

abc + abd + acd + bcd = -(-27)/1 = 27

abcd = 36/1 = 36

Então, temos dois sistemas:

Primeiro sistema:
cd = 3
e
-7 + c + d = -3

Resolvendo:

c = 3 / d

Substituindo na segunda equação:

d2 - 4d + 3 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau:

d = 3 ou d = 1

Substuindo na primeira equação:

c = 1 ou c = 3

Segundo sistema:
a + b = -7
e
3ab = 36

Resolvendo:

a = 12/b

Substituindo na primeira equação:

b2 + 7b + 12 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau:

b = -3 ou b = -4

Substituindo na primeira equação:

a = -4 ou a = -3

Como a < b < c < d, as raízes são:

a = -4 , b = -3 , c = 1 e d = 3

Seja o número complexo z = a + bi = - 4 - 3i, onde i² = -1,

Logo: |z|2 = 16 + 9 = 25

|z| = 5

Assim,  o resultado procurado é o expoente (logaritmo de 5 na base 25) que devemos dar ao 25 para encontrarmos 5, ou seja,
log 5, na base 25

Resolvendo a equação exponencial: (25)x = 5 , encontramos:

(5)2x = 5

Como nos dois membros da equação temos a mesma base 5, igualamos os expoente:

2x = 1

x =  1/2     (opção C)



(UFSCAR) Considere a equação x2 + kx + 36 = 0, onde x1 e x2 representam suas raízes.

Para que exista a relação

a soma dos inversos das raízes = 5/12 ,

o valor de k na equação deverá ser:
(A) – 15.
(B) – 10.
(C) + 12.
(D) + 15.
(E) + 36.


Solução: Na equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 , temos as relações de Girard:

* A soma das raízes é x1 + x2 = - b/a.

** O produto das raízes é x1.x2 = c/a.

Logo,

x1 + x2 = -k/1 = -k

e

x1.x2 = 36

Resolvendo:

soma das raízes / produto das raízes = 5/12

(x1 + x2) / (x1.x2) = 5/12

- k/36 = 3/12

- k = 15

k = -15    (opção A)




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