Professor Ezequias.

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(CEFET) Um feixe de paralelas determina sobre uma transversal t1, os segmentos AB e BC, tais que AB=(x+1)cm e BC=(x+8)cm. O mesmo feixe determina sobre uma segunda transversal t2, os segmentos EF e FG, tais que EF=(x+10)cm e FG=(x+20)cm. Qual é o valor da soma AB+BC+EF+FG?
(A) 89cm
(B) 109cm
(C) 119cm
(D) 130cm
(E) 111cm

Solução: Feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais.

teorema linear de thales

Pelo Teorema de Tales temos a proporção:

(x+1) / (x+8) = (x+10) / (x+20)

Multiplicando "em cruz", segue que:

x2 + 21x + 20 = x2 + 18x + 8

21x + 20 = 18x + 8

3x = 20

x = 20 cm

Assim, o valor da soma x+1+x+8+x+10+x+20 = 4x + 39 = 80 + 39 = 119 cm.

Logo, a resposta está na alternativa C).



(PUC) Seja o triângulo retângulo ABC, abaixo.

Relações métricas do triângulo retângulo.

Pode-se afirmar que as medidas do triângulo que formam uma progressão geométrica são:
(A) a , b , c
(B) a , b , h
(C) a , b , n
(D) a , c , n
(E) a , n , m


Solução: Triângulo retângulo é um triângulo (Polígono de três lados) que possui um ângulo reto (90°) e outros dois ângulos agudos (menor que 90°). Conduzindo a altura h relativa a hipotenusa a de um triângulo retângulo ABC obtemos dois triângulos retângulos semelhantes ao triângulo ABC. Pelo Teorema de Tales os lados correspondentes destes triângulos são proporcionais.
Como consequência disto, temos as seguintes relações métricas:
a = m + n ;
b2 = a.n ;
c2 = a.m ;
h2 = n.m ;
b.c = a.h ;
a2 = am + an .

Daí vem o Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 , ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Veja o vídeo aqui.

No estudo das sequências temos o teorema:
Uma sequência de números reais positivos x , y , z , nesta ordem, é uma Progressão Geométrica se, e somente se, y é a média geométrica de x e z, ou seja, y2 = x.z.

Assim, são progressões geométricas as três sequências a seguir: (a , c , m) ; (a , b , n) e (n , h , m).

Logo, as medidas do triângulo ABC que formam uma PG estão na alternativa (C).



(CBMERJ) Para realizar um treinamento de salvamento em altura, os bombeiros amarraram uma das extremidades de uma corda no topo de uma torre vertical e prenderam a outra extremidade no solo, medindo 50 metros à distância entre as duas extremidades. Sabe-se que a referida corda estava totalmente esticada e formava um ângulo de 45 graus com o solo que era horizontal e plano. Qual a altura da torre utilizada no treinamento?
(use 1,41 para a raiz quadrada de 2  ou 1,73 para raiz quadrada de 3).
(A) 25,00 m
(B) 28,83 m
(C) 35,25 m
(D) 43,25 m
(E) 50,00 m

Solução: A corda, a torre e o chão formam um triângulo retângulo isósceles (com dois ângulos iguais a 45 graus). Logo, tem dois lados (os catetos) iguais a x, e a hipotenusa mede 50 m.
Então, pelo Teorema de Pitágoras vale a relação x2 + x2 = 502.

Teorema de Pitágoras.

Assim, a altura da torre utilizada no treinamento mede x = 35,25 m, correspondendo a alternativa (C).



(CBMERJ) Em um terreno retangular serão construídos um laboratório e uma odontoclínica (conforme a figura abaixo).

Terreno retangular

Marque a opção que mostra o polinômio que expressa a área não construída (sombreada em amarelo):
(A) 120 - 6x2 + 160x
(B) 280x - 6x2
(C) 200x - 2x2
(D) 120x - x2
(E) 160x - 3x2


Solução: O retângulo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) com dois lados de mesmo comprimento e dois lados de mesma largura que contêm quatro ângulos retos. A área do retângulo é o produto entre o comprimento (base) e a largura (altura).

O laboratório e a odontoclínica formam um retângulo de (80 - 3x) de comprimento por (40 - 2x) de largura.

Terreno retangular

Então, a área construída é o polinômio: (80 - 3x)×(40 - 2x) = 3200 - 280x + 6x2. A área total do terreno é: 80 × 40 = 3200. Logo, a área não construída será a área total menos a área construída, ou seja, será o polinômio: 3200 - (3200 - 280x + 6x2) = 3200 - 3200 + 280x - 6x2 = 0 + 280x - 6x2 = 280x - 6x2. Assim, a alternativa (B) responde esse problema.



Determine a área de um triângulo equilátero cujo o perímetro é 30 cm.
Solução: Triângulo equilátero é um polígono de três lados iguais (3 ângulos iguais a 60°). Se o perímetro (soma dos lados) mede 30 cm, segue que, cada lado mede 10 cm.

A área do triângulo é a metade do produto da base a pela altura h.

Pelo Teorema de Pitágoras a² = h² + (a/2)², ou seja, h² = 3a²/4.

Polígono regular de 3 lados.

Logo, considerando a raiz quadrada de 3 igual 1,7 aproximadamente, a área procurada mede 25×1,7 = 42,5 cm².



(FJG) A figura a seguir representa um terreno retangular de 9m de largura e 15m de diagonal.
Terreno retangular.
A área deste terreno, em metros quadrados, é igual a:
(A) 112
(B) 108
(C) 98
(D) 86

Solução: Seja C o comprimento do retângulo. No triângulo retângulo formado com os lados do retângulo e a diagonal, a hipotenusa mede 15 m e os catetos medem 9m e C. Assim, vale o Teorema de Pitágoras, ou seja, 152 = 92 + C2.
Então, 225 = 81 + C2, o que implica em C2 = 225 - 81 = 144.
Como a raiz quadrada de 144 é igual a 12, vem que C = 12 m. Sendo a área o produto entre o comprimento e a largura, segue que a área A = 12 × 9 = 108 m2. Concluímos que (B) é a alternativa correta.

Este problema poderia ser resolvido de uma maneira mais rápida. Observe, que o triângulo retângulo é semelhante ao Triângulo Pitagórico Fundamental, ou seja, seus lados são proporcionais a 3 , 4 e 5. Assim, podemos ter a proporção múltipla: 9/3 = C/4 = 15/5 = 3. Logo: C = 4 × 3 = 12. Daí, vem que a área A = 12 × 9 = 108 m2.



(UFGO) Para cobrir o piso retangular de um banheiro de 1m de largura por 2m de comprimento com cerâmicas quadradas, medindo 20cm de lado, qual o número necessário de cerâmicas?
Solução: Quadrado é um retângulo de lados iguais. Como 20 cm = 0,20 m , a área da cerâmica quadrada é A = 0,2 × 0,2 = 0,04 m2 . A área do piso retangular A = 2 ×1 = 2 m2. Assim, o número de cerâmicas de 0,04 m2 que cabem em um piso de 2 m2 é: 2 / 0,04 = 200 / 4 = 50 cerâmicas.
Para colocar ladrilhos no piso de um salão retangular de 6,40 m por 9,60 m, um pedreiro comprou ladrilhos quadrados de 20 cm de lado. Calcule o número necessário de ladrilhos.
Solução: Como 20 cm = 0,20 m, a área do ladrilho quadrado é A = 0,2 × 0,2 = 0,04 m2. A área do piso retangular é A = 6,40 × 9,60 = 61,44 m2. Assim, o número de ladrilhos de 0,04 m2 que cabem em um piso de 61,44 m2 é: 61,44 / 0,04 = 6.144 / 4 = 1.536 ladrilhos.
Seu Silva deseja colocar azulejos numa parede (de 4 m por 2,7 m) de sua cozinha, onde há uma porta (de 2,1 m por 80 cm) e uma janela (de 1,2 m por 1,2 m). Quantos metros quadrados de azulejo seu Silva precisa comprar?

Solução: Área da parede = 4 × 2,7 = 10,8 m2 . Como 80 cm = 0,8 m, temos que a área da porta = 2,1 × 0,8 = 1,68 m2. A área da janela = 1,2 × 1,2 = 1,44 m2. Assim, a parte da parede que não vai ser azulejada é: 1,68 m2 + 1,44 m2 = 3,12 m2. Logo, seu Silva precisa comprar: 10,8 m2 - 3,12 m2 = 7,68 m2 de azulejo.
Sabendo-se que 1 are (a) = 100 m2, quantos hectares (ha) possui um terreno de formato retangular de 2.100 m por 50 m ?

Solução: A área do terreno é A = 2.100 × 50 = 105.000 m2. Como 100 m2 = 1 are, então 10.000 m2 = 1 hectare. Logo a área A = 105.000 / 10.000 = 10,5 ha.

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