Professor Ezequias.

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Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa-d'água, com formato de um paralelepídedo retângulo (prisma reto quadrangular), cujas as dimensões (internas) são: 0,90 m de comprimento, 0,70 m de largura e 0,80 m de altura?
Solução: A geometria métrica espacial trata, entre outras coisas, do estudo do cálculo do volume dos sólidos geométricos (figuras tridimensionais). O volume é a medida do espaço ocupado por um sólido geométrico. Sabe-se que 1m3 = 1000 litros; 1dm3 = 1 litro; 1cm3 = 1 mililitro.
Prismas são sólidos geométricos que possuem as seguintes características: bases paralelas iguais; arestas laterais iguais e paralelas e que ligam as duas bases.
O sólido geométrico em questão tem 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. Chamamos de prisma quadrangular porque suas bases são quadriláteros. Observe que todas as suas faces têm a forma de retângulos.

Paralelepídedo retângulo, volume e capacidade.


O volume V do prisma é o produto da área da base Ab pela altura h.
Ab = 0,90 × 0,70 = 0,63 m2 .
Como h = 0,80, então V = 0,63 × 0,80 = 0,504 m3 . Logo: V = 0,504 × 1000 = 504 litros.



Um tipo de folha de papel muito usado é o de formato A4. Este tipo de papel tem forma retangular com 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento. Calcule o volume de uma pilha, com 20 cm de altura, de papel A4.
Solução: Esta pilha tem o formato de um prisma quadrangular. Observe que o volume da pilha é diretamente proporcional a área do papel (área da base) e diretamente proporcional a quantidade de papel empilhado (altura da pilha), ou seja, é o produto da área da base pela altura.

Calculando a área da base retangular encontramos:
Ab = 21 × 29,7 = 623,7 cm2.

Logo o volume da pilha de papel é: V = 623,7 × 20 = 12.474 cm3 .


A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.
Solução: Observe que o sólido abaixo tem 6 vértices, 5 faces (3 retângulos e 2 triângulos) e 9 arestas. Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos. Podemos imaginar um prisma triangular formado por triângulos de cartolina, todos do mesmo tamanho, empilhados. O volume é o produto da área da base (área do triângulo retângulo) pela altura.

prisma triangular

Logo, a área da base é a metade do produto dos catetos, ou seja,
Ab = 6 × 8 / 2 = 24 cm2.

Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a2 = 62 + 82 = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.
Assim, as áreas das outras faces são:
área1 = 6 × 12 = 72 cm2 ; área2 = 8 ×12 = 96 cm2 ; área3 = 10 × 12 = 120.

Conclusão:
A área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm2.
O volume do prisma V = 24 × 12 = 288 cm3.


(UFRJ) Uma barra de doce de leite (paralelepípedo retângulo), com 5 cm × 6 cm × 7 cm, foi completamente envolvida com papel laminado. Se a barra for cortada em cubos de 1 cm de aresta, quantos cubos ficarão sem qualquer cobertura de papel laminado?
Solução: O paralelepípedo formado pelos cubos de 1 cm de aresta (1cm3) que ficarão sem cobertura terá um volume menor:
V = (5-2) cm × (6-2) cm × (7-2) cm = 3 cm × 4 cm × 5 cm = 60 cm3. Assim, o valor procurado será de 60 cubos.


Usando cartolina, um aluno construiu um prisma, sem uma das tampas (bases) e uma pirâmide, sem o fundo (base), de mesma base e mesma altura do prisma. Em seguida, encheu a pirâmide de areia e a despejou dentro do prisma. Repetiu essa operação até encher o prisma com areia.

prisma de cartolina

Quantas vezes foram necessárias despejar o conteúdo da pirâmide no interior do prisma, para enchê-lo por completo?


Solução: Foi necessário despejar o conteúdo três vezes, mostrando que o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma de mesma base e mesma altura da pirâmide.

A pirâmide de Queóps (construída por volta de 2.500 anos antes de Cristo), no Egito, tem 146 m de altura. Sua base é um enorme quadrado, cujo lado mede 246 m.
Se um caminhão basculante carrega 6 m3 de areia, quantos deles seriam necessários para transportar um volume de areia igual ao volume da pirâmide?

Solução: Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.

Chamamos de pirâmide quadrangular aquela cuja base é um quadrilátero. Note que o sólido tem 5 vértices, 5 faces  (4 triângulos e 1 quadrado) e 8 arestas.

pirâmide quadrangular

O volume da pirâmide é igual a terça parte do volume de um prisma de mesma base e altura.
A área da base é Ab = 246 × 246 = 60.516 m2.
O volume é V = 60.516 × 146 / 3 = 8.835.336 / 3 = 2.945.112 m3.
Assim, seriam necessários: 2.945.112 m3 / 6 m3 = 490.852 caminhões.



(FATEC) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução: Poliedro é um sólido limitado externamente por planos (faces) no espaço tridimensional. Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois de seus pontos, quaisquer, está contido no poliedro. São exemplos de poliedros convexos: os prismas, as pirâmides e os Sólidos de Platão (tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular). Um teorema de Euler afirma que em todo poliedro convexo com número de arestas A, número de vértices V e número de faces F, vale a relação: V + F – A = 2 .

Na questão, temos que o número de faces é F = 3 + 2 + 4 = 9.

Se tem 3 faces com 4 lados, então tem 3×4 = 12 arestas.

Se tem 2 faces com 3 lados, então tem 2×3 = 6 arestas.

Se tem 4 faces com 5 lados, então tem 4×5 = 20 arestas.

Assim, o total de arestas seria de 12 + 6 + 20 = 38 .

No entanto, as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Quando contamos todas as arestas de todas as faces dessa maneira, cada aresta é contada duas vezes.

Logo, o número total de aresta é na verdade A = 38 / 2 = 19.

Usando a Relação de Euler, temos: V + 9 - 19 = 2.

Portanto, o número de vértices desse poliedro é V = -9 + 19 + 2 = 12.

NOTA: Poliedros são sólidos limitados só por superfícies planas.  O cone, a esfera e o cilindro, são sólidos limitados só por superfícies curvas ou por superfícies planas e curvas, portanto, não são poliedros. São chamados de corpos redondos.



(UNIJUI) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica.

cone

cilindro

Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingirá o líquido no cilindro?
resposta 1/3 m


Solução: Podemos imaginar um cilindro formado por círculos de cartolina, todos do mesmo tamanho, empilhados. Por isso, temos que o volume do cilindro é também igual ao produto da área da base pela altura.
O volume de um cone é igual à terça parte do volume de um cilindro de mesma base.

volume de corpos redondos

Como, o cilindro tem 1m de altura, então, a altura do líquido no cilindro é 1/3 m.
De fato, o volume do cone é V = PI×(25)2×(1) / 3 = 625×PI / 3. Despejando este volume no cilindro, onde h é a altura do líquido, teremos 625×PI / 3 = (625×PI)(h).
Logo, a altura h = 1/3 m, correspondendo a opção (A).



(UERJ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

icosaedro truncado = bola de futebol

Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a:

(A) 7,0 m

(B) 6,3 m

(C) 4,9 m

(D) 2,1 m


Solução: O icosaedro regular tem F = 20, V = 12. Pela relação de Euler V + F - A = 2 , segue que 12 + 20 - A  = 32 - A = 2.

Então, o número de aresta do icosaedro é A = 30.

Como retiram (truncam) 12 pirâmides, e cada pirâmide retirada gera 5 arestas, logo, temos 12×5 = 60 novas arestas.

O número total de arestas do novo poliedro gerado é A' = 30 + 60 = 90.

Como o artesão gasta, no mínmo, em cada aresta 7 cm = 0,07 m de linhas, então , 90 arestas gastam 0,07×90 = 6,3 m (alternativa B).

OBS: O sólido obtido por truncatura sobre os vértices do icosaedro, usado na fabricação de bolas de futebol, é chamado de icosaedro truncado. Este poliedro tem V' = 60,  F' = 32 e A' = 90.




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