Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 4 blusas. De quantas maneiras distintas ela pode se arrumar?
Solução: Trata-se de um problema simples de análise combinatória (estudo dos métodos de contagem). O chamado Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz, se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subsequente pode ser feita de N diferentes maneiras, há M×N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. Observe o diagrama abaixo:

Produto cartesiano

Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de 8 maneiras distintas. De fato, a ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de 2 maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa) pode ser realizada de 4 maneiras distintas.  Assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o número de efetuar a ação completa é 2 × 4 = 8.



Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B?
Solução: A ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A até B) pode ser realizada de 3 maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (ir de B até C) pode ser realizada de 4 maneiras. Então, pelo PFC,  o número de maneiras de ir de A até C é 3 × 4 = 12.

Uma prova de Matemática consta de 10 questões do tipo V ou F. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual o número de maneiras de preencher a folha de resposta?
Solução: O PFC é também conhecido como PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO e pode ser generalizado para acões constituídas de mais de duas etapas sucessivas.
Resolver uma prova de 10 questões do tipo V ou F representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. Logo, pelo PFC, o resultado procurado é: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210 = 1024.

De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?
Solução: Temos uma ação constituída de 5 etapas sucessivas, onde, a ordem faz a diferença. Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos 5 possibilidades; para o segundo lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 possibilidades; para o terceiro lugar sobram 3 pessoas a serem escolhidas; para o  quarto lugar 2 pessoas, e para o último lugar na fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. Então, pelo PFC temos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Assim, calculamos o número de modos de ordenar ("embaralhar") 5 elementos distintos. Em outras palavras , calculamos o número de permutações simples de 5 elementos, ou seja, P5 = 120.
Uma multiplicação do tipo N × (N - 1) × (N - 2) × ... × 1 é chamada Fatorial do número N (N é natural e N > 1) e representada por N! ( lemos N fatorial ). Definimos ainda 1! = 1 e 0! = 1. O número de permutações simples de N elementos é N! (por exemplo, o número de permutações de 5 elementos é 5! = 120). Calcule 10! / (6!×4!).
Solução: Usamos no numerador e no denominador a definição de fatorial e depois simplificamos cancelando os fatores comuns.
5040 / 24 = 210
Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente?
Solução: Temos uma ação constituída de duas etapas sucessivas, onde, a ordem faz a diferença. Para escolher o presidente temos 8 possibilidades; para escolher o vice-presidente, como uma pessoa já foi escolhida, temos 7 possibilidades. Assim pelo PFC temos: 8 × 7 = 56 maneiras.
Por outro lado, poderíamos usar a fórmula:
8! / (8-2)! = 56
Este procedimento é chamado de cálculo do número de arranjos simples de 2 elementos escolhidos entre 8 elementos, ou seja A8,2 = 56 .
Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da obra pode escolher os três de que precisa?
Solução: Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai fazer as escolhas não faz diferença (se escolher primeiro Mário, depois José e por último Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e por último Mário, o grupo escolhido é o mesmo). Se a ordem de escolha dos candidatos importasse, poderíamos usar o PFC. Nesse caso, teríamos 5 possibilidades para a primeira vaga, 4 possibilidades para a segunda e 3 possibilidades para a última. A solução seria 5 × 4 × 3 = 60. No entanto, usando o PFC, contamos várias vezes o mesmo grupo de três candidatos. Para "tirar" as repetições, vamos ter que dividir o resultado pelo número de vezes que eles se repetem na contagem. Os grupos repetidos são as formas de "embaralhar" três candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" três objetos é o mesmo que fazer permutações de três objetos.
Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para não contarmos as repetições dentro de cada grupo formado. Isso significa que há 10 maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos.

De outra maneira, podemos usar a fórmula do número binomial:
5! / [(5-3)!3!] = 10
Assim, calculamos o número de combinações simples de 5 objetos (os 5 candidatos) tomados 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos), isto é, C5,3 = 10


Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? 
Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6760000 veículos. 
Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175760000 veículos
ANAGRAMA é uma palavra formada pela transposição (troca, permutação, ou "embaralhamento") de letras de outra palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por exemplo: ROMA, MARO, OMAR, RAMO, MORA, RAOM, são alguns dos 24 anagramas da palavra AMOR . Quantos são os anagramas da palavra GRAFO?
Solução: A palavra GRAFO possui 5 letras distintas. Pelo PFC temos: 5×4×3×2×1 = 120 anagramas.
A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas seguidas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser "confeccionadas"?
Solução: Pelo PFC temos: 26×25×10×9×8 = 468000 senhas.
O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?

Solução: Em um conjunto de 4 equipes de basquete temos que escolher uma sequência (arranjo) de 3 equipes (a ordem tem importância). Pelo PFC temos: 4×3×2 = 24 maneiras distintas (número de arranjos de três seleções escolhidos entre 4 seleções).

Uma escola do Rio de Janeiro quer organizar um torneio de futebol com 8 equipes, da forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras (octogonal). Quantos jogos terá o torneio?

Solução: Em um conjunto de 8 equipes de Futebol, cada jogo é um subconjunto (combinação) de 2 equipes (a ordem não tem importância). Assim, o número de jogos é o número de combinações de 2 equipes escolhidos entre 8 equipes, ou seja, C8,2 = 8×7/2! = 56/2 = 28 jogos.
Considere a palavra ARARA. Se todas as 5 letras (elementos) fossem distintas, teríamos 5! = 120 anagramas (permutações). Entretanto, devemos dividir esse número por 3! (que é o número de permutações das letras A, A e A, porque elas não são distintas) e por 2! (número de permutações das letras R e R, porque elas não são distintas). Assim. a palavra ARARA tem 10 anagramas. Quantos anagramas podemos formar com a palavra CARRETA?

Solução: O número de anagramas é: 7!/(2!×2!) = 7!/4 = 5040/4 =1260 anagramas.

Quantas sequências de 3 letras distintas podem ser formadas com as letras da palavra PEDRA?
Solução: Temos que escolher 3 letras de 5 e a ordem em que estas letras são escolhidas faz diferença (Arranjo de 5 elementos tomados 3 a 3).

Assim, pelo PFC, o resultado procurado é: 5×4×3 = 60


Dado o conjunto A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}, quantos subconjuntos de A com 3 elementos podemos escrever?
Solução: Temos que escolher 3 elementos de 5 e a ordem em que estes elementos são escolhidos NÃO faz diferença (Combinação de 5 elementos tomados 3 a 3).

Assim, pelo PFC, o número de subconjuntos é: 5×4×3 / 3! = 10


Um edifício tem 16 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente de que usou para entrar?
Solução: Para entrar existem 16 possibilidades, em seguida, para sair existem 15 possibilidades. Então pelo PFC, existem 16×15 = 240 possibilidades.
Ao final de uma reunião com 16 pessoas, cada um dos presentes cumprimentou os demais com um aperto de mão uma única vez. Quantos apertos de mão foram trocados?

Solução: Temos um grupo de 16 pessoas. Uma pessoa qualquer desse grupo deve ter apertado a mão de  16-1 = 15 pessoas, e isso é verdade para cada uma das 16 pessoas presentes. Mas para não contarmos duas vezes (2!) o aperto de mão dado por duas pessoas quaisquer, temos que contar o número total de apertos de mão como o número de combinações de 2 pessoas escolhidas entre 16 pessoas, ou seja, C16,2 = 16×15 / 2! = 120 apertos de mão.
Quantos divisores positivos tem o número 3888?

Solução: Decompondo em fatores primos, vem que: 3888 = 24×35. Então, cada divisor de 3888 é da forma 2a × 3b onde a pode ser 0, 1, 2, 3, 4, e b pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5. Portanto, existem 5 possibilidades para a e 6 possibilidades para b. Logo, pelo PFC, o número de divisores é 5×6 = 30 divisores.
Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis se a escolha for feita com reposição?
Solução: Pelo PFC temos: 52×52×52 = 140608 sequências.
Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis se a escolha for feita sem reposição?
Solução: Pelo PFC temos: 52×51×50 = 132600 sequências.
São sorteados na Mega-Sena seis números escolhidos entre os números de 1 a 60. Quantos são os resultados possíveis para o sorteio da Mega-Sena?
Solução: No jogo da mega-sena, a ordem com que os seis números são escolhidos não tem importância, portanto, o resultado deste jogo não é uma sequência.
Como o resultado é um subconjunto, então o número de resultados possíveis neste tipo de loteria é o número de combinações de 6 números escolhidos entre 60 números, ou seja,
C60,6 = 60×59×58×57×56×55 / 6! = 10×59×29×19×14×11 = 50063860 resultados possíveis.
Nota: Observe que a probabilidade que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma única aposta de seis números é de 1 em 50063860 (aproximadamente 0,000002%).

Sobre uma circunferência, tomam-se 10 pontos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nesses pontos?
Solução: Para construir um triângulo precisamos escolher 3 pontos (vértices) dentre os 10 pontos disponíveis, e mais, a ordem com que esta escolha é feita não tem importância. Logo, o número de triângulos é o número de combinações de 3 vértices escolhidos entre 10 pontos, ou seja, C10,3 = 10×9×8 / 3! = 720 / 6 = 120 triângulos.

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