Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(UFF) Um capital inicial de R$100,00 é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros simples de 20% ao ano, ou seja, o valor do capital é alterado a cada ano com um aumento de 20% em relação ao capital inicial. O montante (capital + juros) cresce a cada período em
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
(C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 1,2

Solução: Temos que R$100,00 é o valor do capital inicial. Como, 20% de 100 é 0,2×100 = 20, a sequência de valores (veja a tabela com os valores ao final de cada ano) é uma progressão aritmética (sequência linear), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado de um número fixo (que no caso é 20).

juros simples

Portanto, temos uma Progressão Aritmética (PA) de razão (ou diferença) r = 20. Logo, (C) é a alternativa correta.


(UFF) Um capital inicial é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros compostos de 20% ao ano, ou seja, o valor do capital aplicado é alterado a cada ano com um aumento de 20% em relação ao ano anterior. O montante (capital + juros) cresce a cada período em
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
(C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 1,2

Solução: Pela Matemática Financeira, aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar este valor por 1,2. Seja um capital inicial C qualquer, por exemplo C = 100,00. A sequência de valores (veja a tabela com os valores ao final de cada ano) é uma progressão geométrica (sequência exponencial), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo (que no caso é 1,2).

juros compostos

Assim, temos uma Progresssão Geométrica (PG) de razão q = 1,2. Portanto, (D) é a alternativa correta.



Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforos como mostra o desenho a seguir.

Palitos em PA.

a) Quantos palitos são necessários para fazer 100 quadrados?
b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?


Solução: a) Para fazer um quadrado é necessário 4 palitos. Para fazer dois quadrados é necessário 7 palitos. Para fazer três quadrados é necessário 10 palitos , e assim por diante.
Então, temos uma progressão aritmética:
PA (4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... ), onde o primeiro termo a1 = 4, a razão (ou diferença) r = 3 .
Assim, temos que encontrar o centésimo termo somando 99 razões ao primeiro termo, ou seja,
a100 = a1 + 99r = 4 + 99(3) = 4 + 297 = 301 .

b) O enésimo termo an = a1 + (n-1)r é o número de palitos e o número de termos n é o número de quadrados .
Assim, 250 = a1 + (n-1)r.
Segue que 250 = 4 + (n - 1)(3).
O que implica em, 250 = 4 + 3n - 3.
Daí, vem que:: n = (250 - 1) / 3.
Logo: n = 249 / 3 = 83 quadrados.



(CORREIOS) O enésimo termo da P.A. ( -4 , -1 , 2, ... ) é:
(A) an = 2n - 5
(B) an= 3n - 7
(C) an = 5n + 4
(D) an = 6n + 2
Solução: O primeiro termo da progressão aritmética é a1 = -4 e a razão é  r = -1 - (-4) = -1 + 4 = 3.

an=a1+(n-1)r

O termo geral é an = -4 + (n-1)×3 = -4 + 3n - 3 = -7 + 3n = 3n - 7 (opção B).



Quando o grande matemático Carl F. Gauss (1777 - 1855) tinha cerca de 10 anos, sua turma de escola tinha um professor que gostava de passar problemas de Matemática trabalhosos quando esta fazia bagunça. Uma vez, pediu aos alunos que calculassem a soma dos inteiros de 1 até 100. O professor, ficou bastante surpreso quando, em pouquíssimos minutos, Gauss entregou logo o resultado: 101×50 = 5050. Como ele chegou ao resultado de forma tão rápida?
Solução: Gauss percebeu que na soma 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 , existe a seguinte propriedade: o resultado da soma do primeiro com o último número da série, 1 e 100, é 101; o resultado da soma do segundo com penúltimo, 2 e 99, é também 101; o resultado do terceiro com antepenúltimo, 3 e 98, também é 101; e assim por diante.
Como os números de 1 a 100 formam 50 duplas, Gauss multiplicou 101 por 50 e chegou logo ao resultado 5050.

Na verdade, o que Gauss descobriu foi que a soma dos n termos de uma Progressão Aritmética é sempre igual a n vezes a média aritmética de dois valores equidistantes dos extremos da progressão, isto é, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an =

(a1+an)n/2.

Assim, 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100)×100 / 2 = 101×50 = 5050.



(BANCO DO BRASIL) Numa progressão geométrica, o quarto termo é 20% do terceiro termo. sabendo-se que a1 = 2000, o valor de a5 é:
(A) 20/3
(B) 16/5
(C) 12/7
(D) 18/7
(E) 14/7

Solução: Seja a PG (a1, a2 , a3 , a4 , a5 , ...).  Para encontramos o quinto termo de uma PG temos que multiplicar o primeiro termo pela razão quatro vezes, ou seja, a5 = a1 × q4 .
Como  a4 = a3 × 20/100 , vem que a razão (ou quociente) da PG é q = a4 /a3 = 20/100 = 2/10.
Então:  a5 = 2000 × (2/10)4 = 2000 × 16 / 10000 = 32/10 = 16/5. Logo, a alternativa correta é a (B).
(BACEN) Observe a sequência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3 , e assim por diante).

Determine a quantidade dos menores triângulos da figura 7.


Solução: Na figura 1 temos 1 triângulo. Na figura 2 temos 4 triângulos menores, Na figura 3 temos 16 triângulos menores, e assim por diante.
Então, temos uma progressão geométrica: PG (1 , 4 , 16 , 64 , ..., a7), onde a1 = 1 , a razão (ou quociente) q = 4.
Nesta sequência o enésimo termo an = a1×qn-1 é o número de triângulos menores e n é o número da figura.
Assim , devemos encontrar o sétimo termo multiplicando o primeiro  termo pela razão seis vezes, isto é,
a7 = a1×q6 = 1×46 = 4096 triângulos menores.
Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
Solução: Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela  teria recebido R$ 1,00, no segundo dia R$ 2,00 , no terceiro R$ 4,00 , no quarto R$ 8,00 e assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos desta P.G. .

a1(-1+q^n) / (-1+q)

Calculando Sn , onde n = 12 e q = 2, temos:

S12 = 1(212 - 1) / (2 - 1) = 212 - 1 =

4096 - 1 = R$ 4.095,00.


(UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00.
Solução: No primeiro dia. Riquinho receberá R$1,00. No segundo R$2,00. No terceiro R$3,00, e assim por diante.
Assim, em 30 dias , receberá a soma S = 1 + 2 + 3 + ... + 28 + 29 + 30.
Podemos também ter S = 30 + 29 + 28 + ... +  3 + 2 + 1.  
Então, S + S = 1 + 30 + 2 + 29 + 3 + 28 + ... +  28 + 3 + 29 + 2 + 30 + 1.
O que implica em, 2S = 31 + 31 + 31 + ... + 31 + 31 + 31  = 31 × 30.  
Logo S = 31 × 30 / 2 = 465.
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais.

Poderíamos, também resolver da seguinte maneira: Observe que a soma S é a soma (ou série) dos 30 primeiros termos da PA (1 , 2 , 3 , 4 ,  ... , 29 , 30).
Assim, S é 30 vezes a média aritmética de dois valores equidistantes dos extremos da sequência, ou seja,  
S = (a1 + an) n / 2 , onde n = 30.
Segue que, S = (1 + 30) × 30 / 2 = 31 × 30 / 2 = 465.
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais.



(UFRJ) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se  os quadrados de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado L/3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir.

Calcule a área de F.


Solução: Na etapa 1 a área é: S = 1×1 = 1 cm2.

Na etapa 2 temos a área: S = 1 + (1/3)2+ (1/3)2 + (1/3)2 = 1 + 3(1/9) = 1  + 1/3.

Na terceira etapa temos a área S = 1 + 1/3 + 9(1/9)2 = 1 + 1/3 + 1/9.

Na quarta etapa teremos a área: S = 1 + 1/3 + 1/9 + 27(1/27)2 = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27, e assim por diante.

Então, a área do fractal F é a soma infinita S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... .

Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente: a1 = 1 e a razão q = 1/3.

Então, S = a1(qn - 1) / (q - 1).

Como n tende a infinito e q = 1/3, vem que qn tende a zero, ou seja, o limite de qn quando n tende a infinito é zero.

a1 / (1-q).

Logo, S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1 / (1 -1/3) = 1 / (2/3) = 3/2 cm2 = 1,5 cm2.


O rápido Aquiles persegue uma morosa tartaruga. A velocidade do mais veloz e valente guerreiro grego é igual a 10 vezes a velocidade da tartaruga. A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando Aquiles vencer os 100 metros, a tartaruga terá corrido 1/10 do que percorreu Aquiles e ficará 10 metros a sua frente. Quando Aquiles correr esses 10 metros, a tartaruga terá percorrido 1/10 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando Aquiles correr esse metro, a tartaruga terá percorrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a concluir que Aquiles, por mais rápido que seja, nunca alcançará a tartaruga. Assim, pensava o filósofo grego Zenon ou Zenão (450 a.C.). Então, quantos metros Aquiles deverá correr para alcançar a tartaruga?
Solução:  A conclusão de que Aquiles nunca alcançará a tartaruga é um paradoxo (contradição).  

Aquiles, para alcançar a tartaruga, deverá correr a distância S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...

Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente: a1 = 100 e a razão q = 1/10.

Daí, vem que a soma é S = a1(qn - 1) / (q - 1) , mas, com n tendendo a infinito.

Dizemos, então, que o limite da soma S, quando n tende a infinito, é S = a1 / (1 - q), pois como q = 1/10 e n tende a infinito, vem que qn tende a zero.

Assim,  S = a1 / (1 - q) = 100 / (1 - 1/10) = 100 / (9 / 10) = 1000 / 9 = 111,1111 ...

Concluindo, a fração 1000 / 9 , em metros, exprime a distância que Aquiles deverá correr para alcançar a tartaruga.



| Privacidade
| Vídeos