Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(SARESP) Uma instituição financeira empresta um mesmo capital a cada uma de duas pessoas A e B, por um mesmo período de tempo t. A pessoa A toma emprestado esse capital em regime de juros simples, e B, em regime de juros compostos, ambas a uma mesma taxa anual. Decorrido o tempo t, ambas pagam um mesmo montante M (capital + juros). O gráfico que melhor representa a evolução do montante a ser pago respectivamente por A e B, nessa situação, é

juros exponenciais

juros exponencias


Solução: Temos que A e B receberam o mesmo capital inicial. Decorrido o tempo t, A e B pagam o mesmo montante.

A operação básica da Matemática Financeira é a operação de empréstimo com a cobrança de juro. O valor desses juros é justificado pelo prazo (tempo) obtido para o pagamento ou pelo "aluguel" do dinheiro emprestado (ou aplicado). Os Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

No regime de juros simples, o montante cresce em progressão aritmética, ou seja, cresce linearmente. Portanto, o gráfico de A é uma reta crescente.

No regime de juros compostos o montante cresce em progressão geométrica, ou seja, cresce exponencialmente. Assim, o gráfico de B é uma função exponencial crescente.

Logo, o gráfico cartesiano que melhor representa o montante a ser pago está na alternativa (A).



(ESAF) Num sorteio concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
(A) 15%
(B) 5%
(C) 10%
(D) 30%
(E) 20%

Solução: Como os números  múltiplos de cinco (5, 10, 15, ..., 50) formam uma progressão aritmética de razão r = 5, a1 = 5 e an = 50.
Logo, o termo geral da PA é 50 = 5 + 5(n-1).
Segue que 45/5 = n-1
Então n = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10.
Sendo 1 o número de casos favoráveis e 10 o número de casos possíveis, segue que a probabilidade procurada é 1/10 = 0,1 = 10% (resp C).

(UERJ) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados em partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero.

curva de koch

Este processo de formação continua indefinidamente até a obtenção de um floco de neve de Koch.
Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, equivalente a:

geometria fractal


Solução: Fractal é uma figura geométrica de dimensão fracionária. O Fractal floco de neve é o resultado de infinitas adições de triângulos equiláteros ao perímetro de um triângulo equilátero inicial. Pois, cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e se aproxima do infinito. Desse modo, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

fractal floco de neve

Na primeira etapa (iteração) temos um triângulo equilátero de lado 1. Na segunda etapa temos mais 3 triângulos equiláteros de lado 1/3. Na terceira etapa temos mais 12 triângulos equiláteros de lado 1/9. Na quarta etapa temos mais 48 triângulos equiláteros de lado 1/27, e assim sucessivamente.
Calculando a área total.

Soma dos termos de uma PG decrescente infinita

Observe que dentro do parêntese temos 1 + a soma de uma progressão geométrica decrescente infinita com a1 = 1/3 e q = 4/9.

Calculando o Limite desta soma.

(2/5)(3^1/2)

Logo, o resultado procurado fica na opção (C).


(UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nessa ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.
Solução: Como os logaritmos estão em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c = 2 + r, onde r é a razão da PA. Como log (abc) = log a + log b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6.

Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6, o que implica em abc = 106 = 1.000.000 .


(UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da PG.
Solução: Seja a PG (a1 , a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1 = 10 , a2 = 10q , a3 = 10q2 , a4 = 10q3 , ... , a8 = 10q7 , onde q é a razão da PG. O produto de seus termos é: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10×10q×10q2× ... ×10q7 = 108×q1+2+3+...+7.

Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 = 8×7/2 = 28, vem que: a1×a2×a3× ... ×a8 = 108q28. Assim, log (a1×a2×a3× ... ×a8) = log (108q28) = log 108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou q<0 , pela condição de existência do logaritmo no conjunto dos números reais, segue que o log (108q28) = log108 + log |q|28 = 8 + 28 log |q| = 36.

Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q = 10 ou q = -10.




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