Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(FUVEST) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
(E) 18

Solução: Pelo enunciado, temos a progressão aritmética (4 , 2x , a3 , ... ) e a progressão geométrica (4 , x , a3 , ...), onde a3>0.

Então: a3 = 4 +2r = 4q² onde r = 2x - 4 e q = x/4.

Substituindo: a3 = 4 + 2x - 4 = 4(x/4)²

2x = 4x²/16 = x²/4

8x = x²

x² - 8x = 0

x(x-8) = 0

Logo, x = 0 ou x = 8.

Se x = 0, então a3 = 0 (não serve).

Se x = 8, então a3 = 2×8 = 16 ou, a3 = 8²/4 = 64/4 = 16.

Assim, o resultado procurado está na alternativa (D) 16.


(MAPOFEI) Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da PA?
Solução: Inserindo (interpolando) nove termos entre 15 e 45, teremos uma PA, onde a1 = 15 e a11 = 45 são os extremos.

Aplicando o termo geral para calcular a razão r.

a11 = a1 + 10r = 15 + 10r = 45

10r = 45 - 15 = 30

r = 30/10 = 3

Calculando o sexto termo.

a6 = a1 + 5r = 15 + 5×3=30.



(PUC) Para interpolar 3 meios geométricos entre 6 e 4374, a razão deve ser
intercalando

Solução: Para interpolar (inserir) 3 termos entre 6 e 4374 de modo que se tenha uma PG, temos a1 = 6 e a5 = 4375.

Usando o termo geral da PG a5 = a1q4, segue que

4375 = 6q4

729 = q4

intercalando

Assim, o resultado procurado está na resposta (D).



(UERJ) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados em partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero.

curva de koch

Este processo de formação continua indefinidamente até a obtenção de um floco de neve de Koch.
Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, equivalente a:

geometria fractal


Solução: Fractal é uma figura geométrica de dimensão fracionária. O Fractal floco de neve é o resultado de infinitas adições de triângulos equiláteros ao perímetro de um triângulo equilátero inicial. Pois, cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e se aproxima do infinito. Desse modo, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

fractal floco de neve

Na primeira etapa (iteração) temos um triângulo equilátero de lado 1. Na segunda etapa temos mais 3 triângulos equiláteros de lado 1/3. Na terceira etapa temos mais 12 triângulos equiláteros de lado 1/9. Na quarta etapa temos mais 48 triângulos equiláteros de lado 1/27, e assim sucessivamente.
Calculando a área total.

Soma dos termos de uma PG decrescente infinita

Observe que dentro do parêntese temos 1 + a soma de uma progressão geométrica decrescente infinita com a1 = 1/3 e q = 4/9.

Calculando o Limite desta soma.

(2/5)(3^1/2)

Logo, o resultado procurado fica na opção (C).



(SARESP) Uma instituição financeira empresta um mesmo capital a cada uma de duas pessoas A e B, por um mesmo período de tempo t. A pessoa A toma emprestado esse capital em regime de juros simples, e B, em regime de juros compostos, ambas a uma mesma taxa anual. Decorrido o tempo t, ambas pagam um mesmo montante M (capital + juros). O gráfico que melhor representa a evolução do montante a ser pago respectivamente por A e B, nessa situação, é

juros exponenciais

juros exponencias


Solução: Temos que A e B receberam o mesmo capital inicial. Decorrido o tempo t, A e B pagam o mesmo montante.

A operação básica da Matemática Financeira é a operação de empréstimo com a cobrança de juro. O valor desses juros é justificado pelo prazo (tempo) obtido para o pagamento ou pelo "aluguel" do dinheiro emprestado (ou aplicado). Os Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

No regime de juros simples, o montante cresce em progressão aritmética, ou seja, cresce linearmente. Portanto, o gráfico de A é uma reta crescente.

No regime de juros compostos o montante cresce em progressão geométrica, ou seja, cresce exponencialmente. Assim, o gráfico de B é uma função exponencial crescente.

Logo, o gráfico cartesiano que melhor representa o montante a ser pago está na alternativa (A).



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