Professor Ezequias.

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(UNICAMP) O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de

(x+1) / x = x

a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.

b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula

Sucessão de Fibonacci

Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10o e o 11o termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal para o número áureo.


Solução: a) Reescrevendo a equação dada na forma de uma equação de segundo grau, temos:
número de ouro = 1,6180339887498948482045868343656...
Assim, o número áureo (ou número de ouro) x = (1 + 2,2360679774997896964091736687313...) / 2 = 1,6180339887498948482045868343656...

b) Na sequência de Fibonacci o primeiro termo é 1, o segundo também é 1. A partir do terceiro termo, cada elemento é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 e assim por diante. Assim, os onze primeiros termos da sequência de Fibonacci são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e, portanto, F(10) = 55, F(11) = 89. Dividindo F(11) por F(10), temos: F(11) / F(10) = 89 / 55 = 1,618.

Uma aproximação com uma casa decimal, para o número áureo, é 1,6.



(LICEU) O número de ouro, traduz a proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitetura clássicas, renascentistas e pós-modernistas. Existem várias representações geométricas para se chegar a esse número, cujo valor corresponde à
constante phi = 1,618...
Uma delas é a razão entre o comprimento e a largura de um retângulo também chamado retângulo áureo, reconhecido como sendo a forma mais visualmente equilibrada e harmoniosa da natureza. O retângulo abaixo, representará um retângulo áureo, se o valor de x, corresponder à

golden ratio
alternativa (A)
Solução: Como a razão entre o comprimento e a largura é o número áureo, temos:

Racionalizando o denominador, segue que:

Assim, o resultado procurado está na opção (A).



Você sabia?
* Algumas plantas crescem de acordo com a sequência de Fibonacci.
** Se você pegar uma concha em formato de espiral e calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de 1,618.
*** A divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão dará aproximadamente o mesmo valor de 1,618.
**** Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos em uma colméia de abelhas, sempre chegará ao mesmo número aproximado: 1,618.

Calcule, aproximadamente, o percentual de machos e de fêmeas em uma colméia.
Solução: Se, na colméia, a razão fêmeas / machos = 1,618, então fêmeas = machos × 1,618. Isto significa que se tivermos 1000 machos, teremos 1618 fêmeas em um total de 1000 + 1618 = 2618 abelhas.
Logo, aproximadamente, a porcentagem de fêmeas é 1618 / 2618 = 0,618 = 61,8% e a porcentagem de machos é 1000 / 2618 = 0,382 = 38,2%.
(UERJ) Observe a figura:

Adriane Galisteu e a Matemática

Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira:

1º) esticou uma linha AB, cujo comprimento é metade da altura dela;

2º) ligou B ao seu pé no ponto C;

3º) fez uma rotação de  BA com centro B, obtendo o ponto D sobre  BC;

4º) fez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre  AC.

Para surpresa da modelo, CE é a altura do seu umbigo. Tomando AB como unidade de comprimento e considerando a raiz quadrada de 5 igual a 2,2 , a medida CE da altura do umbigo da modelo é:
(A) 1,3
(B) 1,2
(C) 1,1
(D) 1,0


Solução: Primeiro modo (usando o número áureo):

O resultado da divisão da altura de uma pessoa pela distância entre seu umbigo e o chão é o número áureo 1,618 aproximadamente.

Pelo enunciado do problema a linha AB = 1 e a altura AC = 2. Por conseguinte, AC / CE = 2 / x = 1,618.

x = 2 / 1,618 = 2000 / 1618 = 1,23 aproximadamente (opção B).

Segundo modo (Aplicando o Teorema de Pitágoras):

Observe que os segmentos BD e AB são raios de uma mesma circunferência, então, BD = AB.

De modo análogo, CE e CD são raios de uma mesma circunferência, logo, CE = CD.

Temos um triângulo retângulo de  hipotenusa CD + DB = x + 1 e catetos AB = 1 e AC = 2.

Usando o Teorema de Pitágoras: (x+1)2 = 12 + 22 ,

Adriane Galisteu e a geometria

segue que o valor procurado é CE = x = 1, 2 (alternativa B).



(COLÉGIO NAVAL) Um retângulo ABCD de lados AB = a e BC = b (a > b), é dividido, por um segmento EF, num quadrado AEFD e num retângulo EBCF, semelhante ao retângulo ABCD conforme a figura a seguir.

golden number

Nessas condições, a razão entre a e b é aproximadamente igual a:
(A) 1,62
(B) 2,62
(C) 3,62
(D) 4,62
(E) 5,62


Solução: Temos o chamado retângulo de ouro.

golden-rectangle

A razão a/b é o número áureo 1,618. De fato, multiplicando a proporção "em cruz" obtemos uma equação do segundo grau literal. Calculando o valor de a, usando a "fórmula de Baskara", segue que:
a/b = 1,618...
Considerando a raiz quadrada de 5 igual a 2,236 aproximadamente, concluimos que o valor procurado é: a/b = (1 + 2,236) / 2 = 3,236 / 2 = 1,618, isto é, 1,62 (alternativa A).



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