Professor Ezequias.
| Problemas Resolvidos

(UERJ) Denominamos "traço" de uma matriz a soma dos elementos da sua diagonal principal. Assinale a opção que contém o traço da matriz C abaixo:

C = A - 2B, onde, A = ( aij ) 2 × 2 , com aij = i + j   e

B = ( bij ) 2 × 2 , com bij = i2 - j

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3


Solução: Matriz m×n é uma tabela de m linhas e n colunas, onde:
aij é o elemento da matriz A que está na linha i com a coluna j;
bij é o elemento da matriz B que está na linha i com a coluna j.

Cálculo dos elementos da matriz A:

a11 = 1 + 1 = 2 ; a12 =  1 + 2 = 3 ;

a21 = 2 + 1 = 3 ;   a22 = 2 + 2 = 4.  

Cálculo dos elementos da matriz B:

b11 = 1 - 1 = 0 ; b12 =  1 - 2 = -1 ;

b21 =  4 - 1 = 3 ; b22 =  4 - 2 = 2.

matriz quadrada 2 por 2

Assim, o traço da matriz C é 2 + 0 = 2.  Logo, (C) é a alternativa correta.


UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.

Matriz de logaritmos

Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j). O valor de x é igual a:
(A) 0,50
(B) 0,70
(C) 0,77
(D) 0,87


Solução: x = a23 = a32= log (2+3) = log 5

Temos a11 = log 2 = 0,3 e log 10 = 1.

Usando as propriedades dos logaritmos, segue que:

log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1-0,3 = 0,7 (alternativa B).


(UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i.
A Matemática das planilhas
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.

Solução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:

planilha

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 unidades.

b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.



(UERJ) Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentes potências, são produzidos por um determinado fabricante. Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi realizada com 1000 usuários desses produtos. Observe a matriz A , na qual cada elemento aijrepresenta o número daqueles que pretendem trocar do modelo i para o modelo j.

matriz equipamento eletricidade

Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados, a probabilidade de que ele não pretenda trocar seu modelo de ar-condicionado é igual a:
(A) 20%
(B) 35%
(C) 40%
(D) 65%


Solução: Temos que, na matriz, cada elemento aij representa o número daqueles que pretendem trocar do modelo i para o modelo j. Como na diagonal principal temos i=j, esses elementos representam o número de pessoas que não querem trocar de modelo.

Assim, o número de resultados favoráveis é 50+100+200 = 350.

O número de resultados possíveis é 1000.

Logo, a Probabilidade procurada é p = 350 / 1000 = 0,35 = 35/100 = 35% (Letra B).



(UERJ) Considere uma matriz A com 3 linhas e 1 coluna, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, de cima para baixo. Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 colunas, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, da esquerda para a direita. Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A×B.
Solução: A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida da soma dos resultados. Vamos multiplicar a matriz coluna A com matriz linha B, resultando em uma matriz quadrada A×B.

Matriz coluna x matriz linha

Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Podemos calcular o Determinante usando a Regra de Sarrus.

No entanto, observe a matriz A×B . A segunda linha é múltipla da primeira e a terceira também é múltipla da primeira. Logo, vamos usar a propriedade: O Determinante de uma matriz é nulo, se esta matriz possuir: uma fila nula, ou, duas filas paralelas iguais, ou, duas filas paralelas proporcionais, ou, uma fila que é combinação linear das outras filas paralelas. Assim, o determinante da matriz A×B é ZERO.



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