Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(UERJ) Denominamos "traço" de uma matriz a soma dos elementos da sua diagonal principal. Assinale a opção que contém o traço da matriz C abaixo:

C = A - 2B, onde, A = ( aij ) 2 × 2 , com aij = i + j   e

B = ( bij ) 2 × 2 , com bij = i2 - j

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3


Solução: Matriz m×n é uma tabela de m linhas e n colunas, onde:
aij é o elemento da matriz A que está na linha i com a coluna j;
bij é o elemento da matriz B que está na linha i com a coluna j.

Cálculo dos elementos da matriz A:

a11 = 1 + 1 = 2 ; a12 =  1 + 2 = 3 ;

a21 = 2 + 1 = 3 ;   a22 = 2 + 2 = 4.  

Cálculo dos elementos da matriz B:

b11 = 1 - 1 = 0 ; b12 =  1 - 2 = -1 ;

b21 =  4 - 1 = 3 ; b22 =  4 - 2 = 2.

matriz quadrada 2 por 2

Assim, o traço da matriz C é 2 + 0 = 2.  Logo, (C) é a alternativa correta.


UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.

Matriz de logaritmos

Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j). O valor de x é igual a:
(A) 0,50
(B) 0,70
(C) 0,77
(D) 0,87


Solução: x = a23 = a32= log (2+3) = log 5

Temos a11 = log 2 = 0,3 e log 10 = 1.

Usando as propriedades dos logaritmos, segue que:

log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1-0,3 = 0,7 (alternativa B).



Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores (veja a tabela 1).
Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de janeiro e fevereiro: a)  8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro; b) 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q  para o mês de fevereiro (veja a tabela 2).
Determine a  matriz (complete a tabela 3) que registra o total de transistores, capacitores e resistores que serão utilizados para atender às encomendas de cada mês.

planilha eletrônica


Solução: A tabela 1 é um exemplo de matriz do tipo 3×2.

A tabela 2 é um exemplo de matriz de ordem 2×2. Observe que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida da soma dos resultados.

planilha eletrônica

Assim, a multiplicação dessas matrizes resulta na tabela 3 que é uma matriz 3×2.


(UERJ) Considere uma matriz A com 3 linhas e 1 coluna, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, de cima para baixo. Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 colunas, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, da esquerda para a direita. Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A×B.
Solução: Vamos multiplicar a matriz coluna A com matriz linha B, resultando em uma matriz quadrada A×B.

Matriz coluna x matriz linha

Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Podemos calcular o Determinante usando a Regra de Sarrus.

No entanto, observe a matriz A×B . A segunda linha é múltipla da primeira e a terceira também é múltipla da primeira. Logo, vamos usar a propriedade: O Determinante de uma matriz é nulo, se esta matriz possuir: uma fila nula, ou, duas filas paralelas iguais, ou, duas filas paralelas proporcionais, ou, uma fila que é combinação linear das outras filas paralelas. Assim, o determinante da matriz A×B é ZERO.



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