Professor Ezequias.

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(UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
(A) o número ao qual se eleva a para se obter b.
(B) o número ao qual se eleva b para se obter a.
(C) a potência de base b e expoente a.
(D) a potência de base a e expoente b.
(E) a potência de base 10 e expoente a.

Solução: Por definição, o logaritmo de a na base b é o expoente que devemos dar ao b para obtermos a. Dessa forma, o logaritmo de 64 na base 2 , ou seja,
Veja o vídeo aqui,
é 6, pois 26 é igual a 64.
Logo, a resposta correta está na alternativa (B).

(UFRJ) Dados a e b números reais positivos, b ≠ 1, define-se logaritmo de a na base b como o número real x tal que bx = a, ou seja,
Para que servem os logaritmos?
Para alfa diferente de 1, um número real positivo, 
a tabela abaixo fornece valores aproximados para alfa elevado a x e alfa elevado a (-x).
Tabela de logaritmos.
Com base nesta tabela, determine uma boa aproximação para:
Tábua de logaritmos

Solução: Chamamos de Logaritmo, o expoente que devemos dar a um número positivo (base), diferente de 1, para obter outro (logaritmando).
logaritmo
Resposta do item a): Quando multiplicamos potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

alfa = (15,625).(0,16)=2,5

Então, o resultado procurado é alfa = 2,5.

Item b) Pela definição de logaritmos, temos:

x = log 0,1 na base 2,5 = log 0,101 na base 2,5 = -2,5

Logo, verificando na tabela, x = -2,5 aproximadamente.



(CESGRANRIO) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 é:
(A) 7
(B) 10-8
(C) 1,0
(D) 8
(E) 0

Solução: Quando trabalhamos com logaritmo na base 10 (logaritmo decimal) não é preciso exibir a base.
logaritmo decimal
O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores. Consequentemente, o logaritmo decimal de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base, ou melhor:
propriedades dos logaritmos
Sabemos que 1/10-8 = 108

Assim, pela definição de pH dada, temos que pH = log(1/10-8) = log(108) = 8 log10 = 8(1) = 8. Logo, (D) é a alternativa correta.

De um modo geral, log (10n) = n.


Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor?
(Considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010).

Solução: O regime de juros mais usado pelo mercado é o de juros compostos.
Neste regime o montante M e o capital inicial C estão relacionados pela equação exponencial M = C(1 + i)n, onde n é o número de meses e i é a taxa percentual.
Como queremos M = 2C, segue que 2C = C(1,02)n.
Daí, vem que (1,02)n = 2.
Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02.
Mudando da base 1,02 para a base 10 (decimal), temos que:
log (1,02)n = log 2.
n log (1,02) = log 2.
n = log 2 / log (1,02) = 0,3010 / 0,0086 = 3010 / 86 = 35 meses.

Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 10% ao ano de juros compostos, que são capitalizados anualmente, dobre de valor?
(Considere: log 1,1 = 0,0414 ; log 2 = 0,3010).

Solução: De modo análogo ao problema anterior, o resultado procurado é
n = log 2 / log 1,1 = 0,3010 / 0,0414 = 3010/414 = 7,2 anos aproximadamente.

OBS: Quando a taxa percentual é próxima de 10%, podemos usar a "regra do 72". É um meio simples de você saber em quanto tempo seu dinheiro vai duplicar ou sua dívida vai dobrar de tamanho. Basta dividir 72 pela taxa percentual. Nesse problema podemos fazer 72/10 = 7,2 anos. No problema anterior, quando a taxa é 2% ao mês, podemos fazer 72/2= 36 meses, bem próximo do resultado correto 35 meses.


(INTESP) O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares. Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade de vida e o desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da seguinte fórmula:

índice do PIB = [log(PIB percapita) - log 100] / [log 40000 - log 100],

onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor máximo de renda per capita no mundo.
Um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79, possui um PIB per capita aproximado de:
(A) 100 dólares
(B) 500 dólares
(C) 1000 dólares
(D) 5000 dólares
(E) 10000 dólares.


Solução: Como 102 = 100 , 103 = 1000, então, os logaritmos decimais log 100 = 2 e log 1000 = 3.
Segue que log 40000 = log (8×5×1000) = log 23 + log 5 + log 1000 = 3 log 2 + log 5 + 3 .
Assim, log 40000 = 3(0,3) + 0,7 + 3 = 0,9 + 3,7 = 4,6.

Seja x o PIB per capita. Na fórmula dada, ficamos com:
0,79 = (log x - log 100) / (log 40000 - log 100) = (log x - 2) / (4,6 - 2) = (log x - 2) / 2,6 .

Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054 + 2 = 4,054
Assim, log x = 4 aproximadamente. Logo, o PIB per capita x = 104 = 10000 dólares aproximadamente e a opção correta é a alternativa (E).


Resolva a equação: 

Resolva log(5x^2-7x-9) = log(x^2-2x-3), na mesma base (x+3)


Solução: Quando temos um logaritmo de cada lado da igualdade, ambos com a mesma base, podemos "cortar" os logaritmos e igualar os logaritmandos, ou seja,
log x=log y (na mesma base) se, e somente se, x=y.
Os valores encontrados na resolução da equação só serão considerados soluções da equação logarítmica proposta se for um valor que satisfaz as condições de existência do logaritmo no conjunto dos números reais: a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de um e o logaritmando deve ser positivo.

condições de existência do logaritmo

Igualando os logaritmandos obtemos uma equação do segundo grau. Podemos resolver esta equação com a "fórmula de Bhaskara".

x=(5+11)/8=2 ou x =(5-11)/8=-3/4

O resultado x = 2 não é solução da equação, pois, não satisfaz as condições de existência do logaritmo. No entanto, o resultado x = -3/4, satisfaz as condições de existência.

x=-3/4

Logo, x= -3/4 é o resultado da equação. O conjunto solução é S = {-3/4}.



O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítmica para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G = 10 log (I / 10 -12), onde I é a intensidade do som.
a) Calcule nessa escala, o limiar de audição.
b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa. 
Solução: a) No limiar da audição a intensidade do som (em w/m2) é  I = 10 -12 . Então, o nível (em db) é :

G = 10 log (10 -12 / 10 -12) = 10 log (1). Como log 1 = 0, pois, 1 = 100, segue que G = 0 decibéis.

b) No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1
Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 10 12).

Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que G  = 120 log (10) = 120 decibéis.



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