Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

Sendo f(x) = 2x + x + 1 e g(x) = 2x +5 , calcule o limite de f(x)/g(x), quando x tende a 1, ou seja,
cálcule o limite da função Racional f(x)/g(x). .
Solução: Fazendo x=1 e usando as propriedades do limite de uma função encontramos o resultado:

(2+1+1)/(2+5)=4/7

O resultado 4/7.



Calcule o limite de (x^2 - x - 6) / (x^2 - 4), quando x tende a -2.
Solução: Usando as propriedades do limite de uma função (fazendo x=-2) encontramos a forma indeterminada 0/0, e nada podemos concluir ainda sobre o limite, pois, o limite do quociente é o quociente dos limites somente quando os limites do numerador e do denominador existem, sendo o do denominador diferente de zero.

Contudo, podemos ver que -2 é raiz do polinômio do numerador e também é raiz do polinômio do denominador. Pelo Teorema de D'Alembert, estes dois polinômios são divisíveis por (x+2) . Logo, se x for diferente de - 2, podemos dividir o numerador e o denominador por (x+2).

Quando calculamos o limite de f(x), quando x tende a -2, estamos considerando valores de x, próximos de -2, mas não iguais a -2. Assim, é possível dividir o numerador e o denominador por (x+2).

Resumindo:

Resposta: 5/4.

Assim, o limite procurado é 5/4 = 1,25.



Calcule o limite de (x^4 + 4x^3 + x^2 - 12x - 12) / (2x^3 + 7x^2 + 4x - 4), quando x tende a -2.
Solução: Usando indiscriminadamente as propriedades do limite de uma função, temos que o limite é uma indeterminação 0/0. Observe que x = -2 é raiz do polinômio do numerador e também é raiz do polinômio do denominador. Pelo Teorema de D'Alembert, estes polinômios são divisíveis por (x+2).

Como estamos considerando valores de x, bem próximos de -2 (tão próximos de -2 quanto se queira), mas não  iguais a -2, fatoramos dividindo o numerador e o denominador por (x+2). Podemos usar o Algoritmo de Briot-Ruffini.

Resumindo:

Resposta: -1/5

Logo, o limite -1/5 = - 0,2.



(FESP) O limite de (x - x - 2)/(2x - x - 6), quando x tende a 2 , é:
(A) 0
(B) 3/7
(C) 1/2
(D) 5/2
(E) 3

Solução: Como (2) -2 -2 = 0 e 2(2) - 2 - 6 = 0, pelo Teorema de D'Alembert, estes polinômios são divisíveis por (x - 2). Vamos fatorar dividindo o numerador e o denominador por (x-2).
briot-ruffini
Podemos calcular o limite cancelando os fatores comuns.
(2+1)/(4+3)=3/7
Logo, o limite vale 3/7 (alternativa B).

Calcule o limite de (x^2 - a^2) / (x^3 -a^3), quando x tende ao valor a
Solução: Aplicando indiscriminadamente as propriedades do limite de uma função, temos que o limite é uma indeterminação 0/0. Logo, o  polinômio do numerador e o polinômio do denominador têm a mesma raiz x = a. Então, pelo Teorema de D'Alembert estes polinômios são divisíveis por (x - a).

No cálculo do limite de uma função, quando x tende a um valor a, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a. Assim, dividimos o numerador e o denominador por (x - a), fatoramos para cancelar o fator comum.

Resumindo:

Resposta: (2/3)[a^(2-3)].

E o resultado é 2/3a.



(FESP) Sendo A = x - 8 e B = x - 2, o limite de A/B, quando x tende a 2 , vale:
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 14

Solução: Para sair da indeterminação 0/0, fatoramos o numerador e o denominador. Para calcular o limite, podemos cancelar o fator comum.
4+2(2)+4= 4+4+4=12
Assim, o resultado procurado se encontra na alternativa (D) 12.

limite resolvido da prova do concurso da AMAN

Solução: Usando as propriedades básicas, temos que o limite da função apresenta a forma indeterminada 0/0. Se o limite é dessa forma, a priori, não sabemos qual é o resultado. No entanto, podemos usar um método geral conhecido como Regra de L'Hospital ou Regra de L'Hôpital, que permite, na vizinhança de um ponto, comparar o quociente de duas funções com o quociente de suas derivadas, ou seja, o limite do quociente de duas funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas, se as funções são deriváveis e a derivada do denominador não se anula.

derivada de função polinomial

Como as hipóteses estão satisfeitas, podemos aplicar L'Hospital:

Resposta: (C) 3

E o limite procurado é 3 (alternativa C).



limite resolvido da prova do vestibular da UFPR

Solução: Usando as propriedades básicas, temos que o limite da função tem a forma indeterminada 0/0. As funções do numerador e do denominador são deriváveis e a derivada do denominador não se anula. Então, podemos aplicar L'Hospital:

Resposta: -4/15

O resultado procurado é -4/15 = -0,2666... (Opção a).




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