Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

Como se calcula a taxa percentual dos juros embutidos nas vendas a prazo? Por exemplo: Um artigo é vendido à vista, com 10% de desconto ou em duas prestações iguais, com vencimento no ato da compra e um mês após, sem desconto. Na realidade, a loja cobra 25% ao mês nas vendas a prazo. Por que?
Solução: A Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento (valor) do dinheiro no tempo (valor atual, valor futuro etc.). No regime de juros compostos (o mais usado pelo mercado) obtemos o valor futuro multiplicando o valor atual por (1 + i)n. De modo inverso, obtemos o valor atual dividindo o valor futuro por (1 + i)n, onde i é a taxa percentual e n é o periodo de tempo. Assim, devemos transferir todos os valores para a época do primeiro pagamento. Considerando o preço igual a 100 (poderia ser qualquer valor), segue que o valor à vista (valor atual) é 90 (desconto de 10%) e o valor a prazo é 50 + 50. A primeira prestação de 50, que é paga no ato da compra, vale 50. Já, a segunda prestação de 50 que será paga no mês seguinte, tem valor atual igual a 50 / (1 + i), onde i é a taxa de juros embutida. Então, fazendo a equivalência das duas opções de pagamento, temos: 90 = 50 + 50 / (1 + i).

Segue que, 90(1 + i) = 50(1 + i) + 50. Daí, vem que, 40(1 + i) = 50. Logo, (1 + i) = 50 / 40 = 1,25 , o que implica na taxa de juros ser i = 1,25 - 1 = 0,25 = 25/100 = 25%.



(UFRJ) A rede de lojas SISTREPA vende por crediário com uma taxa de juros mensal de 10%. Uma certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de pagamento: R$100,00 de entrada, uma prestação de R$240,00 a ser paga em 30 dias e outra de R$220,00 a ser paga em 60 dias. Determine, o valor de venda à vista dessa mercadoria.
Solução: O regime mais usado pelo mercado é o de juros compostos. Neste, para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i)n, onde i é a taxa e n é o periodo de tempo. Se a taxa de juros é 10%, então, o valor futuro é igual ao valor atual multiplicado por (1 + 0,1)n, onde n é o período de tempo. Já, o valor atual (valor à vista) é o valor futuro dividido por (1 + 0,1)n, onde n é o período de tempo. Assim: o valor atual de 100 é 100 ; o valor atual de 240 é 240 / (1,1) e o valor atual de 220 é 220 / (1,1)2.

Vem que o preço à vista P = 100 + 240 / (1,1) + 220 / (1,1)2 = 100 + 240 / (1,1) + 220 / (1,21) ;

Segue que, P = (121 + 264 + 220) / (1,21) = 605 / (1,21) = 60500 / 121 = 500 . Logo, o valor à vista é R$ 500,00 .



Uma grande rede de varejo vende um aparelho de TV por R$ 1.000,00, ou em duas parcelas de R$ 500,00, pagas em 30 e 60 dias. Um consumidor pediu um desconto para o pagamento à vista. Neste caso, a rede concedeu um abatimento de 10% e, dessa forma, o produto passou a custar R$ 900,00 à vista. Qual a taxa de juros embutida, ao mês, aplicada na venda a prazo?
Solução: Nesse exemplo, a primeira parcela de 500 que será paga em 30 dias tem valor atual 500 / (1 + i). A segunda que será paga em 60 dias (2 meses) tem valor atual 500 / (1 + i)². Como o verdadeiro valor à vista (valor atual) é 900, então temos que resolver a equação 500 / (1 + i) + 500 / (1 + i)² = 900, onde i taxa de juros ao mês.

Fator de Valor Atual para essa série uniforme de pagamentos = 900/500=1,8

Fazendo (1 + i) = x e multiplicando os dois membros da equação por x², encontramos:

9x - 5x -5 = 0

Resolvemos a equação do segundo grau, por arrendondamento:

i = 7,4% aproximadamente

Assim, 1 + i = 1,074. Portanto, a taxa de juros i = 1,074 - 1 = 0,074 = 7,4% aproximadamente.

NOTA: Na calculadora financeira o resultado é 7,3212281% .


Uma loja de eletrodomésticos vende um aparelho eletrônico por R$1.200,00 à vista, ou em 8 prestações iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra (sem entrada). Se os juros são de 3% ao mês, calcule o valor das prestações.
Solução: Quando compramos um artigo a prazo, efetuamos geralmente seu pagamento em uma série de prestações R iguais e igualmente espaçados no tempo. Essa série de prestações (pagamentos) é equivalente a um pagamento único (valor à vista). Então, para fazer a equivalência das duas opções de pagamento, vamos transferir tudo para a época atual (no ato da compra):

1200 = R / (1,03) + R / (1,03)2 + R / (1,03)3 + R / (1,03)4 + ... + R / (1,03)7 + R / (1,03)8 , ou seja,

1200 = R [ 1 / (1,03) + 1 / (1,03)2 + 1 / (1,03)3 + 1 / (1,03)4 + ... + 1 / (1,03)7 + 1 / (1,03)8] .

Observe que a soma que aparece dentro dos colchetes é a soma de uma progressão geométrica onde a razão é

q = 1 / 1,03 , o número de termos é n = 8 e o primeiro termo é a1 = 1 / 1,03. Assim, temos:

1200 = R [a1( qn - 1) / (q - 1) ] = R [ q (qn - 1) / (q - 1) ] = R [ q (1 - qn) / (1 - q)] , onde q = a1 = 1 / 1,03 e n = 8.

Usando calculadora (recomendável) encontramos:

q = 1 / 1,03 = 0,970873786

qn = 1 / (1,03)8 = 1 / 1,266770081 = 0,789409234

1 - q8 = 1 - 0,789409234 = 0,210590765

1 - q = 1 - 0,970873786 = 0,029126213

q(1 - qn) = 0,970873786 × 0,210590765 = 0,204457053.

Assim, 1200 = R [0,204457053 / 0,029126213] = R (7,019692309).

Logo, R = 1200 / 7,019692309 = 170,9476637. Conclusão: o valor da prestação é R$170,94 .



"O valor à vista de um produto é na prática a soma de todos os valores presentes em suas parcelas, descontado pela taxa de juros do financiamento."

Obtenha o valor à vista de um produto vendido em 4 parcelas de R$50,00, com juros compostos de 7% a. m. .

a) Sendo a primeira dada como entrada ( 1 + 3×).

b) Sendo a primeira dada daqui a um mês ( 0 + 4×)


Solução: a) Como a primeira prestação é paga à vista, a primeira prestação é o valor presente (valor atual de 50). A segunda parcela, que daqui  a um mês valerá 50, tem valor atual de 50 / (1,07). A terceira  parcela, que daqui a dois meses valerá 50, tem valor atual igual a 50 / (1,07)2 . A quarta parcela, que daqui a três meses valerá 50, tem valor atual de 50 / (1,07)3.

Assim , o valor à vista é:

50 + 50 / (1,07) + 50 / (1,07)2 + 50 / (1,07)3 = 50 + 46,73 + 43,67 + 40,81 = R$181,21

b) Como a primeira prestação é paga daqui a um mês, o valor à vista é:

50 / (1,07) + 50 / (1,07)2 + 50 / (1,07)3 + 50 / (1,07)4 = 46,73 + 43,67 + 40,81 + 38,14 = R$169,35



(FGV) Se um investidor aplicar hoje P reais a uma taxa de juros mensal igual a i, ele poderá sacar R reais por mês (começando daqui a um mês), durante n meses, até esgotar seu saldo bancário. Sabendo-se que

 Fórmula com o Fator de Valor Atual para uma série uniforme de pagamentos = P / R.

a) calcule R para que ele esgote seu saldo 1 mês após aplicar R$ 5.000,00, à taxa de juros de 2% ao mês.
b) expresse n em função de P, R e i.


Solução: item a) P é o valor financiado ou aplicado (valor à vista ou valor atual) que deve ser pago ou sacado em n prestações iguais de valor R (começando daqui a um mês ou sem entrada). A taxa de juros compostos por período de tempo é i.
Então, 5000 = R[(1 + 0,02)1 - 1] / 0,02(1 + 0,02)1 = R[(1,02) - 1] / 0,02(1,02) = R(0,02) / 0,0204 .
Daí, vem que R = 5000 (0,0204 / 0,020) = 5000(1,02) = 5100.
Assim, o valor procurado é R$ 5.100,00.

Item b) É dado que P = R[(1 + i)n - 1] / i(1 + i)n, então, Pi(1 + i)n = R(1 + i)n - R.
Assim, R = R(1 + i)n - Pi(1 + i)n.
Colocando (1 + i)n em evidência segue que, R = (R - Pi)(1 + i)n.
Logo, (1 + i)n = R / (R - Pi).
Pela definição de logaritmos n é o logaritmo de R / (R - Pi) na base (1 + i)n.
Mudando da base (1 + i)n para a base 10 (decimal), concluimos n = log [ R / (R - Pi)] / log (1 + i)n .

NOTA: Geralmente nas calculadoras financeiras P corresponde ao botão PV e R ao botão PMT. Dado PMT, PV e n podemos calcular a taxa de juros i em um financiamento usando uma CALCULADORA ON LINE: Calculadora 1 ; Calculadora 2.



| Privacidade
| Vídeos