Professor Ezequias.

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(FESP) A área limitada pela parábola de equação y = -x²+1 e pelo eixo x das abscissas corresponde a:
(A) 2/3
(B) 3/4
(C) 4/3
(D) 3/2
(E) 5/2

Solução: A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. A ideia é dividir a área demarcada em infinitos retângulos. A integral de f(x) é à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde f(x).dx corresponde à área de cada retângulo. O limite da soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da região sob a curva.
limite da soma
O cálculo integral consiste em, como uma operação inversa, conhecendo-se a derivada de uma função f(x), encontrar a função primitiva (ou antiderivada) da qual ela provém; ou seja, significa encontrar uma função F(x), tal que sua derivada F´(x)= f(x) para qualquer x no domínio de f.
integral indefinida
Resolvendo a equação do segundo grau -x²+1= (x+1)(x-1)=0, encontramos x=-1 e x=1 como raízes, portanto, a parábola tem concavidade para baixo e corta o eixo x em x=-1 e x=1.

parabola y= -x²+1

A integral definida da função f(x) = -x²+1 , no intervalo [-1,1] é igual a:
(-1/3)+1-(1/3-1)=4/3=1,333...
Logo, a área procurada está na alternativa (C) 4/3.



Calcule a integral indefinida da função f(x) = 2x sen x .
Solução: Se du é uma função derivada da função u, então, a integral (primitiva) da função du é u + c, ou seja:

Teorema Fundamental do Cálculo

Usando a fórmula para a derivada de um produto d(uv) = udv + vdu , ou seja,

derivada do produto

Temos que udv = d(uv) - vdu.

Podemos integrar ambos os membros desta equação encontrando a fórmula para integração por partes

integral por partes

Consultando as fórmulas:

integral do seno e do cosseno

resp: -2x.cosx + 2senx + C



Encontre a solução geral e a solução particular que satisfaz a condição de contorno (valor inicial) dada em cada equação diferencial a seguir:

a) d²u / dv² = 4(1 + 3v)² ; u = -1 e du / dv = -2 quando v = -1.

b) d²y / dx² = -3 /x 4 ; y = 1/2 e y' = -1 quando x = 1.


Solução: Vamos integrar ambos os membros de uma equação:

Item a)

u=2v²+4v³+3v²v²+v/2-3/2

Item b)

y=(1/2x²) - 2x + 3



Calcule a integral dupla

de x+y

se R é a região do plano xy delimitada por y = x 2 , x = 2 , y = 1.


Solução: O valor desta integral dupla é a medida do volume do sólido entre a superfície (parabolóide) z = f(x,y) = ( x 2 + y 2 ) e a região (domínio) R do plano cartesiano xy

Parabolóide delimitado

Gráfico cartesiano no espaço tridimensional IR

Gráfico cartesiano em 3D

Região R do plano cartesiano xy

Podemos calcular esta integral dupla por meio de duas integrais simples, chamadas integrais repetidas ou iteradas.

1006 / 105

Assim, o número que representa esta integral dupla é 1006/105.




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