Professor Ezequias.
| Problemas resolvidos


Existe Matemática na Música? Existe Música na Matemática? "Assim como a harmonia e a dissonância se combinam na beleza musical, assim a ordem e o caos se combinam na beleza matemática." (Ian Stewart).

Os gregos antigos denominavam a música de "números em movimento". Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), matemático alemão, afirmou que: "A Música é um exercício de Aritmética secreto e aquele que a ela se entrega às vezes ignora que maneja números".

De fato, o matemático grego Pitágoras (sec. VI a.C.), um dos pioneiros da teoria musical ocidental, estudando a geração dos sons, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda (1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1), observou que duas cordas vibrantes, cujos comprimentos estivessem na razão de 1 para 2, soariam com a mesma nota.

Atualmente sabemos que a razão das frequências dos sons emitidos por essas cordas seria a razão inversa dos seus comprimentos, ou seja, de 2 para 1 e que duas cordas vibrantes produzem som com a mesma nota se e só se a razão de seus comprimentos é uma potência inteira de base 2.

A frequência da nota lá fundamental ou padrão (o lá central do piano) é 440 Hz e a frequência do lá seguinte (uma oitava acima), mais agudo, é 880 Hz (Hz é a abreviatura de hertz, unidade de frequência que significa ciclo por segundo).

A escala musical ocidental, a partir de Andreas Werkmeister (1645 - 1706) e Johann Sebastian Bach (1685 - 1750), denominada de escala cromática (ou temperada), divide esse intervalo em doze semitons iguais, isto é, tais que a razão (divisão) das frequências de notas consecutivas é constante. Essas notas se sucedem na ordem LÁ , LÁ# , SI , DÓ , DÓ#, RÉ , RÉ# , MI , FÁ , FÁ# , SOL , SOL# , LÁ, ... (o símbolo # é chamado de sustenido).

Considerando log 2 = 0,3010 , log 1,059 = 0,0250 , calcule:

a) as frequências dessas notas, o primeiro LÁ sendo o LÁ fundamental.

b) a frequência do sinal de discar de um telefone fixo (antigo), que é o primeiro SOL# anterior ao LÁ fundamental.

c) a nota cuja frequência é 185 Hz.


Solução: a) Como a razão (quociente) das frequências de notas consecutivas é constante, a sequência procurada é uma Progressão Geométrica de 13 termos, onde o primeiro termo a1 = 440. Então, o décimo terceiro termo desta PG é a13 = 440q12 = 880, onde q é a razão. Daí, vem que q12 = 880 / 440 = 2 , o que implica na razão q ser igual a raiz duodécima de 2, ou seja, q = 21/12.

Pela definição de logaritmos, temos que 1/12 é o logaritmo de q na base 2. Mudando da base 2 para a base 10, segue que: 1/12 = log2q = log q / log 2. Então, log q = 0,3010 / 12 = 0,0250 aproximadamente. Como log 1,059 = 0,0250 = loq q, chegamos a conclusão que a razão q = 21/12 = 1,059 aproximadamente.

Assim, a PG procurada é: 440 ; 440×21/12 ; 440×22/12 ; 440×23/12 ; 440×24/12 ; 440×25/12 ; 440×26/12 ; 440×27/12 ; 440×28/12 ; 440×29/12 ; 440×210/12 ; 440×211/12 ; 440×212/12.

Logo, as frequências são, aproximadamente, LÁ = 440Hz ; LÁ# =466Hz ; SI = 494Hz ; DÓ = 523Hz ; DÓ# = 554Hz ; RÉ = 587Hz ; RÉ# = 622Hz ; MI = 659Hz ; FÁ = 698Hz ; FÁ# = 740Hz ; SOL = 784Hz ; SOL# = 831Hz ; LÁ = 880Hz.
Este procedimento é usualmente denominado de interpolação geométrica (interpolação de 11 meios geométricos entre 440 e 880), onde, interpolar é o mesmo que inserir ou intercalar.

b) A frequência da nota SOL# anterior ao LÁ fundamental é 440 / 22/12 = 440 / 1,059 = 416Hz. Logo, a frequência do SOL anterior ao LÁ fundamental é 416 / 22/12 = 416 / 1,059 = 392Hz aproximadamente.

De outro modo (mais rápido), como a frequência do SOL posterior ao LÁ fundamental é 784Hz, vem que o SOL anterior ao LÁ padrão é 784 / 2 = 392Hz.

c) Se f = 185Hz, então 2f = 370Hz tem a mesma nota que f. De modo análogo, 3f = 555Hz tem a mesma nota que f. Logo, 4f = 740Hz também tem a mesma nota. Como a frequência da nota FA# é 740Hz, concluimos que a nota cuja frequência é 185Hz é FA#.



(ENEM) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

figuras musicais

Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for  ½, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.

Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é ¾, poderia ser preenchido com
(A) 24 fusas.
(B) 3 semínimas.
(C) 8 semínimas.
(D) 24 colcheias e 12 semínimas.
(E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.


Solução: Oito compassos de fórmula 3/4 = 8(3/4) = 24/4 = 6.

Segue que:

24 fusas = 24(1/32) = 24/32 = 3/8 ;

3 semínimas = 3(1/4) = 3/4 ;

8 semínimas = 8(1/4) = 8/4 = 2 ;

24 colcheias e 12 semínimas = 24(1/8) + 12(1/4) = 24/8 + 12/4 = 3 + 3 = 6 ;

16 semínimas e 8 semicolcheias = 16(1/4) + 8(1/16) = 16/4 + 8/16 = 8/2 + 1/2 = 9/2 ,

Como 24 colcheias e 12 semínimas = 6 = oito compassos de fórmula 3/4, então, o resultado procurado está na alternativa (D).



(ENEM) O manual de funcionamento de um captador de guitarra elétrica apresenta o seguinte texto: Esse captador comum consiste de uma bobina, fios condutores enrolados em torno de um ímã permanente. O campo magnético do ímã induz o ordenamento dos pólos magnéticos na corda da guitarra, que está próxima a ele. Assim, quando a corda é tocada, as oscilações produzem variações, com o mesmo padrão, no fluxo magnético que atravessa a bobina. Isso induz uma corrente elétrica na bobina, que é transmitida até o amplificador, e daí, para o alto-falante.
Um guitarrista trocou as cordas originais de sua guitarra, que eram feitas de aço, por outras feitas de náilon. Com o uso dessas cordas, o amplificador ligado ao instrumento não emitia mais som, porque a corda de náilon
(A) isola a passagem de corrente elétrica da bobina para o alto-falante
(B) varia seu comprimento mais intensamente do que ocorre com o aço.
(C) apresenta uma magnetização desprezível sob a ação do ímã permanente.
(D) induz correntes elétricas na bobina mais intensas que a capacidade do captador.
(E) oscila com uma frequência menor do que a que pode ser percebida pelo captador.

Solução: Resposta (C). O campo magnético do ímã induz o ordenamento dos polos magnéticos na corda da guitarra elétrica, feita de aço. Ao trocar as cordas, por outras de náilon, o guitarrista dificultou esse ordenamento dos polos, pois o náilon apresenta magnetização desprezível. Sem a indução eletromagnética (Lei de Faraday), o amplificador ligado ao instrumento não emite som por não receber sinal elétrico em sua entrada.

Como se calcula as distâncias entre os trastes nos instrumentos musicais de cordas?
Solução: Usando Logaritmos. Veja em Dimensionamento das distâncias entre os trastes nos instrumentos musicais de cordas do prof. Luiz Netto.

Existe um padrão (desenho) que se repete em cada escala musical?
Solução: Sim. Veja em Escala maior, escala menor, escala de Blues etc..


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