Professor Ezequias.


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Existe Matemática na Música? Existe Música na Matemática? "Assim como a harmonia e a dissonância se combinam na beleza musical, assim a ordem e o caos se combinam na beleza matemática." (Ian Stewart).

Os gregos antigos denominavam a música de "números em movimento". Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), matemático alemão, afirmou que: "A Música é um exercício de Aritmética secreto e aquele que a ela se entrega às vezes ignora que maneja números".

De fato, o matemático grego Pitágoras (sec. VI a.C.), um dos pioneiros da teoria musical ocidental, estudando a geração dos sons, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda (1/1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2/1), observou que duas cordas vibrantes, cujos comprimentos estivessem na razão de 1 para 2, soariam com a mesma nota.

Atualmente sabemos que a razão das frequências dos sons emitidos por essas cordas seria a razão inversa dos seus comprimentos, ou seja, de 2 para 1 e que duas cordas vibrantes produzem som com a mesma nota se e só se a razão de seus comprimentos é uma potência inteira de base 2.

A frequência da nota lá fundamental ou padrão (o lá central do piano) é 440 Hz e a frequência do lá seguinte (uma oitava acima), mais agudo, é 880 Hz (Hz é a abreviatura de hertz, unidade de frequência que significa ciclo por segundo).

A escala musical ocidental, a partir de Andreas Werkmeister (1645 - 1706) e Johann Sebastian Bach (1685 - 1750), denominada de escala cromática (ou temperada), divide esse intervalo em doze semitons iguais, isto é, tais que a razão (divisão) das frequências de notas consecutivas é constante. Essas notas se sucedem na ordem LÁ , LÁ# , SI , DÓ , DÓ#, RÉ , RÉ# , MI , FÁ , FÁ# , SOL , SOL# , LÁ, ... (o símbolo # é chamado de sustenido).

Considerando log 2 = 0,3010 , log 1,059 = 0,0250 , calcule:

a) as frequências dessas notas, o primeiro LÁ sendo o LÁ fundamental.

b) a frequência do sinal de discar de um telefone fixo (antigo), que é o primeiro SOL# anterior ao LÁ fundamental.

c) a nota cuja frequência é 185 Hz.


Solução: a) Como a razão (quociente) das frequências de notas consecutivas é constante, a sequência procurada é uma Progressão Geométrica de 13 termos, onde o primeiro termo a1 = 440. Então, o décimo terceiro termo desta PG é a13 = 440q12 = 880, onde q é a razão. Daí, vem que q12 = 880 / 440 = 2 , o que implica na razão q ser igual a raiz duodécima de 2, ou seja, q = 21/12.

Pela definição de logaritmos, temos que 1/12 é o logaritmo de q na base 2. Mudando da base 2 para a base 10, segue que: 1/12 = log2q = log q / log 2. Então, log q = 0,3010 / 12 = 0,0250 aproximadamente. Como log 1,059 = 0,0250 = loq q, chegamos a conclusão que a razão q = 21/12 = 1,059 aproximadamente.

Assim, a PG procurada é: 440 ; 440×21/12 ; 440×22/12 ; 440×23/12 ; 440×24/12 ; 440×25/12 ; 440×26/12 ; 440×27/12 ; 440×28/12 ; 440×29/12 ; 440×210/12 ; 440×211/12 ; 440×212/12.

Logo, as frequências são, aproximadamente, LÁ = 440Hz ; LÁ# =466Hz ; SI = 494Hz ; DÓ = 523Hz ; DÓ# = 554Hz ; RÉ = 587Hz ; RÉ# = 622Hz ; MI = 659Hz ; FÁ = 698Hz ; FÁ# = 740Hz ; SOL = 784Hz ; SOL# = 831Hz ; LÁ = 880Hz.
Este procedimento é usualmente denominado de interpolação geométrica (interpolação de 11 meios geométricos entre 440 e 880), onde, interpolar é o mesmo que inserir ou intercalar.

b) A frequência da nota SOL# anterior ao LÁ fundamental é 440 / 22/12 = 440 / 1,059 = 416Hz. Logo, a frequência do SOL anterior ao LÁ fundamental é 416 / 22/12 = 416 / 1,059 = 392Hz aproximadamente.

De outro modo (mais rápido), como a frequência do SOL posterior ao LÁ fundamental é 784Hz, vem que o SOL anterior ao LÁ padrão é 784 / 2 = 392Hz.

c) Se f = 185Hz, então 2f = 370Hz tem a mesma nota que f. De modo análogo, 3f = 555Hz tem a mesma nota que f. Logo, 4f = 740Hz também tem a mesma nota. Como a frequência da nota FA# é 740Hz, concluimos que a nota cuja frequência é 185Hz é FA#.



(ENEM) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

figuras musicais

Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for  ½, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.

Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é ¾, poderia ser preenchido com
(A) 24 fusas.
(B) 3 semínimas.
(C) 8 semínimas.
(D) 24 colcheias e 12 semínimas.
(E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.


Solução: Oito compassos de fórmula 3/4 = 8(3/4) = 24/4 = 6.

Segue que:

24 fusas = 24(1/32) = 24/32 = 3/8 ;

3 semínimas = 3(1/4) = 3/4 ;

8 semínimas = 8(1/4) = 8/4 = 2 ;

24 colcheias e 12 semínimas = 24(1/8) + 12(1/4) = 24/8 + 12/4 = 3 + 3 = 6 ;

16 semínimas e 8 semicolcheias = 16(1/4) + 8(1/16) = 16/4 + 8/16 = 8/2 + 1/2 = 9/2 ,

Como 24 colcheias e 12 semínimas = 6 = oito compassos de fórmula 3/4, então, o resultado procurado está na alternativa (D).



(UFG) Utilizando as notas dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, um músico deseja compor uma melodia com 4 notas, de modo que tenha notas consecutivas distintas. Por exemplo: {dó, ré, dó, mi} e {si, ré, mi, fá} são melodias permitidas, enquanto que {ré, ré, dó, mi} não, pois possui duas notas ré consecutivas.
a) Escreva cinco melodias diferentes, de acordo com o critério dado.
b) Qual o número de melodias que podem ser compostas nessas condições?

Solução: a)  Por exemplo: (dó, sol, fá,  mi) ; (sí, sol sí, ré) ; (fá, lá, dó, mi) ; (dó, sol, dó, sol) ; (mi, lá, ré, sol).

b) Temos 7 possibilidades para escolher a primeira nota. Como não se pode repetir a nota usada na primeira, temos 6 possibilidades de escolha para a segunda. Para escolher a terceira, sem repetir a nota usada na segunda, podendo repetir a nota usada na primeira, temos 6 possibilidades. Seguindo este raciocínio, na quarta, também, temos 6 possibilidades.

Logo, pela análise combinatória, o resultado pedido é: 7×6×6×6 = 1512 .



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