Professor Ezequias.

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(UFF) Um capital inicial é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros compostos de 20% ao ano, ou seja, o valor do capital aplicado é alterado a cada ano com um aumento de 20% em relação ao ano anterior. O montante (capital + juros) cresce a cada período em
(A) PA de razão 0,2
(B) PG de razão 20
(C) PA de razão 20
(D) PG de razão 1,2
(E) PA de razão 1,2

Solução: Pela Matemática Financeira, aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar este valor por 1,2.

Seja um capital inicial C qualquer, por exemplo C = 100,00.

A sequência de valores (veja a tabela com os valores ao final de cada ano) é uma progressão geométrica (sequência exponencial), pois, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo (que no caso é 1,2).

juros compostos

Assim, temos uma Progresssão Geométrica (PG) de razão q = 1,2. Portanto, (D) é a alternativa correta.



(BACEN) Observe a sequência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3 , e assim por diante).

Determine a quantidade dos menores triângulos da figura 7.


Solução: Na figura 1 temos 1 triângulo. Na figura 2 temos 4 triângulos menores, Na figura 3 temos 16 triângulos menores, e assim por diante.
Então, temos uma progressão geométrica: PG (1 , 4 , 16 , 64 , ..., a7), onde a1 = 1 , a razão (ou quociente) q = 4.
Nesta sequência o enésimo termo an = a1×qn-1 é o número de triângulos menores e n é o número da figura.
Assim , devemos encontrar o sétimo termo multiplicando o primeiro  termo pela razão seis vezes, isto é,
a7 = a1×q6 = 1×46 = 4096 triângulos menores.
Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
Solução: Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro dia ela  teria recebido R$ 1,00, no segundo dia R$ 2,00 , no terceiro R$ 4,00 , no quarto R$ 8,00 e assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos desta P.G. .

a1(-1+q^n) / (-1+q)

Calculando Sn , onde n = 12 e q = 2, temos:

S12 = 1(212 - 1) / (2 - 1) = 212 - 1

S12 = 4096 - 1 = R$ 4.095,00.



Em uma progressão geométrica, a razão é 2, o primeiro termo é 5 e o último termo é 1280. Quantos termos possui essa progressão?
Solução: Pelo termo geral da PG, o último termo é igual ao primeiro termo multiplicado pela razão (n-1) vezes, ou seja,
1280 = 5×2n-1, onde n é o número de termos (valor procurado).
Resolvendo essa equação exponencial, temos:
1280/5 = 2n-1
256 = 28 = 2n-1
Pela propriedade fundamental :
n-1 = 8.
Logo, n = 8+1 = 9.
(FUVEST) – Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
Solução: Representando as informações dadas e resolvendo o sistema vem:
1/q² = 1/9
Como os termos são positivos, o valor da razão q = -3 não serve.
Logo, a razão da progressão é q = 3.
(UNESP) Duas pessoas ficam sabendo de uma informação. No dia seguinte, cada uma delas passa essa informação para outras três pessoas. Cada uma dessas pessoas, no dia seguinte, conta para outras três e assim sucessivamente. Passados cinco dias, quantas tomarão conhecimento daquela informação inicial?
Solução: Temos a PG (2, 6, 18, ..., a5 , ...) de razão q=3.
O total de pessoas que tomarão conhecimento é a soma dos 5 primeiros termos da PG:
S = 2+6+18+ ...+a5 = 2(25-1)/(3-1)
S = 2(25-1)/2 = 25-1
S = 243-1 = 242.
(UFF) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.

Paradoxo de Zenon

Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira:

Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.

Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a

d = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ...

É correto afirmar que:

Paradoxo de Zenon - alternativas


Solução: Um paradoxo é uma afirmação aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Esse paradoxo, por exemplo, supõe que soma de um número infinito de termos é sempre infinita. Muito tempo mais tarde descobriu-se que os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga.

Aquiles, para alcançar a tartaruga, deverá correr a distância

d = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...

Observe que d é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente de razão q = 1/10, onde a1 = 10 e o número de termos n tende a infinito .

Série geométrica.

Temos que q = 1/10 e qn = (1/10)n = 1/(10)n.

Quando n tende a infinito, o denominador da fração aumenta muito mais que o numerador, diminuindo o valor da fração, ou seja, como q = 1/10 e n tende a infinito, vem que qn tende a zero.

Limite da soma infinita..

Dizemos, então, que o limite da soma S, quando n tende a infinito, é S = a1/(1-q).

Assim, como a distância d é a soma S, temos:

10/(1-1/10)=100/9

Concluindo, a fração (dízima periódica) 100/9 = 11,1111111... , em metros, exprime a distância que Aquiles deverá correr para alcançar a tartaruga. Resposta (D).



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