Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

Sierpinski triangle

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é

Teoria do Caos


Solução: Seguindo o algoritmo descrito no enunciado (os 4 passos), temos que a figura 4 será obtida retirando-se os triângulos equiláteros “menores”, que têm vértices nos pontos médios dos lados de cada triângulo preto. Portanto, será a figura da resposta (C).


(UFRJ) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se  os quadrados de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado L/3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir.

Calcule a área de F.


Solução: Na etapa 1 a área é: S = 1×1 = 1 cm2.

Na etapa 2 temos a área: S = 1 + (1/3)2+ (1/3)2 + (1/3)2 = 1 + 3(1/9) = 1  + 1/3.

Na terceira etapa temos a área S = 1 + 1/3 + 9(1/9)2 = 1 + 1/3 + 1/9.

Na quarta etapa teremos a área: S = 1 + 1/3 + 1/9 + 27(1/27)2 = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27, e assim por diante.

Então, a área do fractal F é a soma infinita S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... .

Observe que S é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica infinita decrescente: a1 = 1 e a razão q = 1/3.

Como n tende a infinito e q = 1/3, vem que qn tende a zero, ou seja, o limite de qn quando n tende a infinito é zero.

a1 / (1-q).

Logo, S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1 / (1 -1/3) = 1 / (2/3) = 3/2 cm2 = 1,5 cm2.



(UERJ) O fractal chamado floco de neve de Koch é obtido a partir de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados em partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero.

curva de koch

Este processo de formação continua indefinidamente até a obtenção de um floco de neve de Koch.
Supondo que o lado do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do floco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, equivalente a:

geometria fractal


Solução: Fractal é uma figura geométrica de dimensão fracionária. O Fractal floco de neve é o resultado de infinitas adições de triângulos equiláteros ao perímetro de um triângulo equilátero inicial. Pois, cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e se aproxima do infinito. Desse modo, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

fractal floco de neve

Na primeira etapa (iteração) temos um triângulo equilátero de lado 1. Na segunda etapa temos mais 3 triângulos equiláteros de lado 1/3. Na terceira etapa temos mais 12 triângulos equiláteros de lado 1/9. Na quarta etapa temos mais 48 triângulos equiláteros de lado 1/27, e assim sucessivamente.
Calculando a área total.

Soma dos termos de uma PG decrescente infinita

Observe que dentro do parêntese temos 1+S, onde S é a soma de uma progressão geométrica decrescente infinita com a1 = 1/3 e q = 4/9.

Calculando o Limite desta soma.

(2/5)(3^1/2)

Logo, o resultado procurado fica na opção (C).




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