Professor Ezequias.

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(OBM) Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “n fatorial”) o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.
Por exemplo, 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6.
Se n! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13, então n é igual a
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

Solução: Quando calculamos o fatorial de n, todos os números primos menores ou iguais a n aparecem na multiplicação. Observe que 17 não é fator de n!, então n<17.

16 = 22; 15=35; ...

Veja, que quando calculamos o fatorial de 16: o fator 2 aparece 15 vezes, o fator 3 aparece 6 vezes, o fator 5 aparece 3 vezes, o fator 7 aparece 2 vezes e os fatores 11 e 13 aparecem uma vez cada.

Logo, n=16 (opção D).


ANAGRAMA é uma palavra formada pela transposição (troca, permutação, ou "embaralhamento") de letras de outra palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por exemplo: PACO, POCA, CAPO, OPAC, APOC, CPOA, são alguns dos 24 anagramas da palavra COPA . Quantos são os anagramas da palavra FUTEBOL?
Solução: Pelo PFC, o número de permutações simples de N elementos é N! (N fatorial, ou, fatorial de N).
Como a palavra FUTEBOL tem 7 letras, temos que calcular o número de permutações (embaralhamento) de 7 elementos, ou seja, calcular 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040 anagramas.



(UFC) O maior inteiro x tal que

60!/7^x

seja um número natural é:
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11


Solução: Para que seja um número natural , o numerador deve ser múltiplo do denominador. Isso acontece toda vez que, no numerador, tivermos um múltiplo de 7. Todos esses 7 do denominador devem ser cancelados.

7^9

Existem 8 múltiplos de 7 entre 1 e 60 e o maior inteiro x é x=9 (alternativa C).


De quantas formas 12 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
Solução: O números de maneiras de colocar 12 pessoas em uma fila (ou o número de anagramas de uma palavra de 12 letras distintas) é o número de permutações simples de 12 elementos, isto é, 12!. Ao colocarmos estas 12 pessoas sentadas ao redor de uma mesa circular teremos 12 permutações correspondendo a uma única permutação, pois, agora o primeiro da "fila" é vizinho do último. Na verdade não existe mais o primeiro e nem o último. Agora temos uma "fila" sem início e sem fim. Então, no número de permutações de 12 elementos, existem 12 permutações repetidas.
Logo, temos que "tirar" estas 12 permutações do cálculo dividindo 12! por 12. Assim, o número de permutações pedido é 12!/12 = 11! = 39916800.
Este procedimento é freqüentemente chamado de cálculo do número de permutações circulares ou cíclicas.
De um modo geral, o número de permutações circulares de n elementos (n é natural e n > 0) é n!/n = (n-1)! .

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