Professor Ezequias.
| Problemas Resolvidos

Uma multiplicação do tipo N × (N - 1) × (N - 2) × ... × 1 é chamada Fatorial do número N (N é natural e N > 1) e representada por N! ( lemos N fatorial ). Definimos ainda 1! = 1 e 0! = 1. O número de permutações simples de N elementos é N!. Calcule a soma de todos os números primos que são divisores de 30!.
Solução: O fatorial de 30 é 30! = 30×29×28...3×.2×1. Como 30 fatorial é obtido pelo produto dos números naturais de 1 a 30, logo todos os números primos que aparecem nesse intervalo são divisores de 30!. Assim, a soma procurada é igual a 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129
(OBM) Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “n fatorial”) o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.
Por exemplo, 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6.
Se n! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13, então n é igual a
(A) 13
(B) 14
(C) 15
(D) 16
(E) 17

Solução: Quando calculamos o fatorial de n, todos os números primos menores ou iguais a n aparecem na multiplicação. Observe que 17 não é fator de n!, então n<17.

16 = 22; 15=35; ...

Veja, que quando calculamos o fatorial de 16: o fator 2 aparece 15 vezes, o fator 3 aparece 6 vezes, o fator 5 aparece 3 vezes, o fator 7 aparece 2 vezes e os fatores 11 e 13 aparecem uma vez cada.

Logo, n=16 (opção D).



(UFC) O maior inteiro x tal que

60!/7^x

seja um número natural é:
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11


Solução: Para que seja um número natural , o numerador deve ser múltiplo do denominador. Isso acontece toda vez que, no numerador, tivermos um múltiplo de 7. Todos esses 7 do denominador devem ser cancelados.

7^9

Existem 8 múltiplos de 7 entre 1 e 60 e o maior inteiro x é x=9 (alternativa C).


De quantas formas 12 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
Solução: O números de maneiras de colocar 12 pessoas em uma fila (ou o número de anagramas de uma palavra de 12 letras distintas) é o número de permutações simples de 12 elementos, isto é, 12!.

Ao colocarmos estas 12 pessoas sentadas ao redor de uma mesa circular teremos 12 permutações correspondendo a uma única permutação, pois, agora o primeiro da "fila" é vizinho do último.

Na verdade não existe mais o primeiro e nem o último. Agora temos uma "fila" sem início e sem fim. Então, no número de permutações de 12 elementos, existem 12 permutações repetidas.

Logo, temos que "tirar" estas 12 permutações do cálculo dividindo 12! por 12.

Assim, o número de permutações pedido é

12!/12 = 12×11!/12 = 11! = 11×10×9 ... 3×2×1 = 39916800.

Este procedimento é freqüentemente chamado de cálculo do número de permutações circulares ou cíclicas.

De um modo geral, o número de permutações circulares de n elementos (n é natural e n > 0) é n!/n = (n-1)! .



Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? 
Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6760000 veículos. 
Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175760000 veículos
Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis se a escolha for feita com reposição?
Solução: Pelo PFC temos: 52×52×52 = 140608 sequências.
Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis se a escolha for feita sem reposição?
Solução: Pelo PFC temos: 52×51×50 = 132600 sequências.
(UFG) Utilizando as notas dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, um músico deseja compor uma melodia com 4 notas, de modo que tenha notas consecutivas distintas. Por exemplo: {dó, ré, dó, mi} e {si, ré, mi, fá} são melodias permitidas, enquanto que {ré, ré, dó, mi} não, pois possui duas notas ré consecutivas.
a) Escreva cinco melodias diferentes, de acordo com o critério dado.
b) Qual o número de melodias que podem ser compostas nessas condições?

Solução: a)   Podemos ter, por exemplo, as cinco melodias: (dó, sol, fá,  mi) ; (sí, sol sí, ré) ; (fá, lá, dó, mi) ; (dó, sol, dó, sol) ; (mi, lá, ré, sol).

b) Temos 7 possibilidades para escolher a primeira nota. Como não se pode repetir a nota usada na primeira, temos 6 possibilidades de escolha para a segunda. Para escolher a terceira, sem repetir a nota usada na segunda, podendo repetir a nota usada na primeira, temos 6 possibilidades. Seguindo este raciocínio, na quarta, também, temos 6 possibilidades.

Logo, pela Análise Combinatória, o resultado pedido é: 7×6×6×6 = 1512 .




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