Professor Ezequias.

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(CBMERJ) André, Carlos e Gustavo são três soldados do Corpo de Bombeiros Militar do Estado do Rio de Janeiro que moram em Niteroi, Petrópolis e Barra Mansa, respectivamente. Carlos visita André a cada 6 meses e Gustavo visita André a cada 4 meses. Coincidentemente hoje, André recebeu a visita dos dois amigos. A próxima vez que André receberá a visita simultânea de Carlos e Gustavo será daqui a
(A) 48 meses.
(B) 36 meses.
(C) 24 meses.
(D) 12 meses.
(E) 10 meses.

Solução: Para resolver este problema, temos que encontrar um múltiplo de 6 e de 4 ao mesmo tempo, e mais, este múltiplo  (diferente de zero) deve ser o mínimo. Logo, devemos encontrar o Mínimo Múltiplo Comum de 4 e 6. Fatorando simultaneamente 4 e 6, encontramos:
mmc
MMC(6 , 4) = 22×3 = 4×3 = 12. Assim, o resultado procurado é 12 meses (alternativa D).


Um professor de Matemática dispõe de oito questões de Probabilidade e duas de Geometria para elaborar uma prova de 10 questões. De quantas maneiras ele poderá escolher a ordem delas, sabendo que as de Geometria não podem aparecer uma em seguida da outra?
(A) 2×8!
(B) 5×6!
(C) 6×7!
(D) 7×8!
(E) 8×9!

Solução: Resolvendo este problema sem levar em conta a restrição apresentada, o número total de ordenações (permutações simples) das 10 questões é 10!.

Considerando as duas de Geometria juntas, é como se fossem "um elemento só", no entanto, elas podem trocar de lugar entre si. Logo, temos 2 possibilidades. Arranjando "este elemento" com as outras 8 questões de probabilidade , pelo PFC, temos 2×9! formas de ordenar as questões onde as 2 de Geometria estão juntas.

Por fim, a diferença 10! - 2×9! = 10×9! - 2×9! = 8×9! fornece o número de situações onde as 2 questões de Geometria NÃO aparecem uma em seguida da outra. Alternativa (E)


(ENEM) Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário público, a pena sofrerá um aumento de 1/3 . Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012. Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de reclusão poderá variar de
(A) 4 a 16 meses.
(B) 16 a 52 meses.
(C) 16 a 64 meses.
(D) 24 a 60 meses.
(E) 28 a 64 meses.

Solução: Aumentar de 1/3 é o mesmo que multiplicar por (1+1/3=4/3).

Como 12×4/3 = 48/3 = 16 e 48×4/3 = 192/3 = 64, a pena de reclusão poderá variar de 16 a 64 meses (alternativa C).


(FESP) Nos feriados prolongados partem muitos ônibus do Rio de Janeiro para a região dos lagos. Para Rio das Ostras, os ônibus saem de 40 em 40 minutos e, para Cabo Frio, de 25 em 25 minutos. Se ao meio-dia saírem juntos um ônibus para Rio das Ostras e outro para Cabo Frio, a próxima saída dos dois ônibus juntos será às:
(A) 13h05min
(B) 15h20min
(C) 18h30min
(D) 24h

Solução: O valor procurado é o mínimo múltiplo comum de 40 e 25.

Decompondo simultaneamente 25 e 40 em fatores primos,
mmc
Segue que MMC(25 , 40) = 23×52 = 200 min = (200 / 60) h = 3,333... h = 3h + (1 / 3) h = 3h + 20 min.

Logo, a próxima saída dos ônibus juntos será; 12h + 3h + 20 min = 15h20min.

Assim, a opção correta é a (B).




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