Professor Ezequias.

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(COPEVE) Em uma comunidade constituída por 406 pessoas, 170 estudam alemão, 130 estudam francês, 140 estudam italiano, 12 estudam espanhol, 16 estudam alemão e francês, 15 estudam alemão e italiano, 12 estudam francês e italiano, 5 estudam francês e espanhol, 3 estudam espanhol e italiano, 3 estudam apenas italiano e francês e 2 estudam os quatro idiomas. Sabe-se que todos que estudam espanhol também estudam alemão e que apenas esses quatro idiomas são estudados na comunidade. Nestas condições, quantas pessoas estudam alemão, francês e italiano e não estudam espanhol?
(A) 6
(B) 7
(C) 15
(D) 10
(E) 12
Solução: Construindo um diagrama de conjuntos, onde: A é o conjunto das pessoas que estudam alemão, F é o conjuntos das pessoas que estudam francês, I é o conjunto das pessoas que estudam inglês e E é o conjuntos dos que estudam espanhol (E é subconjunto de A), segue que:

diagramas de Venn-Euler

Assim, observando no diagrama, o número de pessoas que estudam alemão, francês e italiano e não estudam espanhol é 7 (alternativa B).



Quatro irmãos receberam um prêmio de loteria no valor de R$ 267 mil. Esse prêmio será repartido em partes proporcionais à idade de cada um e em partes inversamente proporcionais ao peso de cada um. Se João tem 15 anos e pesa 60 quilos, se Maria tem 12 anos e pesa 36 quilos, se Pedro tem 10 anos e pesa 30 quilos e Ana tem 6 anos e pesa 21 quilos, quanto caberá do prêmio a cada um?
Solução: Vamos usar um procedimento chamado de divisão em partes inversamente proporcionais (regra de sociedade):

J = (15/60)K = K/4 ; M = (12/36)K = K/3 ; P = (10/30)K = K/3 ; A = (6/21)K = 2K/7.

Como, J + M + P + A = 267, então,  K/4 + K/3 + K/3 + 2K/7 = 267.

21K + 28K + 28K + 24K = 22428.  Assim, K = 22428/101

Logo: João receberá J = R$ 55,51; Maria receberá M = R$ 74,02; Pedro receberá P = R$ 74,02; Ana receberá R$ 63,45.



Comprei resistores a R$ 4,00 e capacitores a R$ 2,00 num total de R$ 50,00 por 20 peças , quantas peças comprei de cada ?


Solução: Total de dinheiro: 4R + 2C = 50.
Total de peças: R + C = 20.
No sistema de equações, multiplicamos a segunda equação por -2 e somamos (método da adição) com a primeira, obtendo 2R = 10. Então, R = 5. Substituindo na primeira equação, encontramos 20 + 2C = 50. Logo, C = 15.
Assim, comprou 15 capacitores e 5 resistores.


João, Antônio e Ricardo são operários de uma certa empresa. Antônio ganha 30% a mais que Joâo, e Ricardo, 10% a menos que Antônio. A soma do salário dos três, neste mês, foi de R$ 4.858,00. Qual a quantia que coube a Antônio?


Solução: Pela Matemática Financeira, aumentar 30% é o mesmo que multilicar por 1,3 e descontar 10% é o mesmo que multiplicar por 0,9.
Temos que,    J + A + R = 4858     ,       A = 1,3 × J      e         R  = 0,9 × A
Então:  R = 0,9 × 1,3 × J = 1,17 × J . Assim:  J + (1,3 × J ) + (1,17 × J) = 4858, o que implica em J = 1400.
Logo:  A = 1,3 × 1400 = 1820  e R = 0,9 × 1820 = 1638.  
Concluindo, coube a Antonio a quantia de R$ 1820,00.
Um trem faz normalmente o seguinte trajeto: partindo de A, anda duas horas a uma velocidade de 60 km/h, pára por meia hora numa estação B e anda mais duas horas a uma velocidade de 40 km/h, chegando a C. Na última viagem, após percorrer 150 km, contados a partir de A, o trem quebrou, sendo obrigado a parar. Nesta viagem, o tempo decorrido entre a partida de A e o momento da quebra foi de:
(A)2h30min
(B)2h45min
(C)3h15min
(D)3h30min

Solução:   Resposta c).
Normalmente o trem percorre 2h×60km/h = 120 km de A para B  em 2h e 2h×40km/h = 80km de B para C em 2h, além de parar por 0,5h em B.
Na última viagem ele percorreu 120km  + 30km.
Assim, temos a proporção 30/80 = t/2, onde t é tempo gasto (em horas) nestes últimos 30km percorridos (na velocidade de 40km/h). Segue que t = 3/4 = 0,75.
Logo, o tempo decorrido entre a partida de A e o momento da quebra foi 2h + 0,5h + 0,75h = 3,25h = 3h15min .


(TRT) Um Juiz tem em seu gabinete quatro assistentes. Ele deixa uma pilha de processos para ser dividida igualmente entre eles. O primeiro conta o número de processos e retira a quarta parte para analisar. O segundo, achando que era o primeiro, separa a quarta parte da quantidade que encontrou e deixa 72 processos para serem divididos entre os outros dois assistentes. Nessa situação, o número de processos deixados inicialmente pelo Juiz era:
(A)128
(B) 64
(C)100
(D)140

Solução: Seja n o número de processos. O primeiro retira n/4 de n, sobrando 3n/4. O segundo retira 3n/16 de 3n/4 , sobrando 9n/16 = 72. Resolvendo esta equação encontramos n = 72×16/9 = 128. Assim, a opção (A) é a correta.

De outra maneira: Testando cada uma das alternativas, veremos que a resposta correta é (A) 128, pois, 128 - 32 = 96 e 96 - 24 = 72.




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