Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(ITA) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5o. Então, seu maior ângulo mede, em graus,
(A) 120
(B) 130
(C) 140
(D) 150
(E) 160
Solução:  Temos a PA (a1 , a2 , a3 , ... , a9) de razão r = 5 graus.

A soma dos nove termos desta PA é (a1 + a9)×9 / 2.

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)×180.

Então, (a1 + a9)×9 / 2 = (9-2)×180 = 1260 graus.

(a1 + a9)×9 / 2 = 1260

(a1 + a9)×9 = 2520

(a1 + a9) = 2520 / 9 = 280

Como o nono termo é:

a9 = a1 + 8r = a1 + 8(5) = a1 + 40.

Segue, a1 + a9 = a1 +  a1 + 40 = 280

2a1 = 280 - 40 = 240

a1 = 120

Logo, o nono termo (o maior ângulo interno) vale:

a9 = 120 + 40 = 160 graus (alternativa E).



(EAGS) O número binário 11000011, escrito na forma decimal corresponde a:
(A) 191 ;
(B) 193 ;
(C) 195 ;
(D) 197.

Solução: No sistema numérico da vida diária, o sistema decimal, dez algarismos são empregados, 0, 1, 2, ... , 8, 9. Já o sistema binário (usado nos computadores) utiliza apenas dois algarismos, 0 e 1.

O número binário 11000011 escrito na base 10 corresponde ao polinômio:

1×27 + 1×26 + 0×25 + 0×24 + 0×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 = 27 + 26 + 21 + 20 = 128 + 64 + 2 + 1 = 195.

Assim, temos que o número decimal 195 é escrito na representação binária como 11000011. Logo a alternativa (C) é a correta.


(EAGS) Qual é o maior valor decimal que pode ser representado por um número binário de 16 bits?
Solução: O maior número binário de 16 bits (16 dígitos) é o número 1111111111111111 , que corresponde ao polinômio:

1×215 + 1×214 + 1×213 + 1×212 + ... + 1×21 + 1×20 = 215 + 214 + 213 + 212 + ... + 21 + 20.

Observe que temos uma soma dos 16 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão q = 2 e a1= 20 = 1. Portanto, o maior valor decimal pedido é: 1(215 - 1) / (2 - 1) = 215 - 1 = 65536 - 1 = 65535.



(C-FSD-FN) A torneira B consegue encher um tanque sozinha em 2 horas enquanto a torneira C demora 3 horas. Em quanto tempo as torneiras B e C conseguem encher juntas esse mesmo tanque?
(A) 5 h
(B) 2h
(C) 1h 30 min
(D) 1h 12 min

Solução: Se a torneira B enche o tanque em 2 horas, então, a torneira B, em 1 hora, enche a ½ do tanque (grandezas proporcionais). Se a torneira C enche o tanque em 3 horas, então, a torneira C, em 1 hora , enche 1/3 do tanque. Assim, em 1 hora, as duas torneiras juntas enchem 5/6 do tanque, pois  B + C = 1/2 + 1/3 = (3 + 2) / 6 = 5/6 .

problema das torneiras

Logo, o tempo, em horas, que as torneiras B e C conseguem encher juntas esse tanque é 6/5 = 1,2 , ou seja, 1 hora + 1/5 hora = 1 hora + 60/5 minutos = 1 hora 12 minutos. Conclue-se que (D) é a alternativa certa. Este procedimento é usualmente chamado de cálculo do harmônico global entre 2 e 3.



(EEAR) O número de anagramas formados com as letras da palavra ROMA de modo que não apareçam vogais ou consoantes juntas é igual a:
(A) 4!
(B) 4
(C) 8
(D) 2


Solução: Ao escolhermos uma letra para ocupar a primeira posição da seqüência de letras temos 4 possibilidades; para a segunda posição, como uma já foi escolhida e não podemos ter vogais ou consoantes juntas, temos 2 possibilidades; para a terceira posição, como duas já foram escolhidas e não podemos ter vogais ou consoantes juntas, temos 1 possibilidade; para a quarta posição sobra apenas 1 letra ainda não escolhida.

Assim, pelo PFC, o número de anagramas é: 4 × 2 × 1 × 1 = 8. Logo, a alternativa (C) 8  é a correta.




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