Professor Ezequias.
| Problemas Resolvidos


(ENADE) Uma curva é tal que a tangente em cada um de seus pontos é perpendicular à reta que liga o ponto à origem. A curva satisfaz, então, a equação diferencial:
(A) y' = -x / y
(B) y' = x / y
(C) y' = y / x
(D) y' = -y / x
(E) y' = 1 / y

Solução: Uma curva com tal característica é uma circunferência de raio r com centro na origem (0 ; 0 ). A equação da circunferência de raio r com centro na origem é x2 + y2 = r2. É facil verificar isto usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa r e catetos (x - 0) e (y - 0).

Gráfico da circunferência de equação: x² + y² = 9 .

A derivada de uma curva num determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente neste ponto, ou seja, é a taxa de variação instantânea da função.

Formalmente é definida pelo limite de [ f(x + h) - f(x) ] / h quando h tendo a zero.

Vamos calcular a derivada y' = dy/dx por diferenciação implícita.

Então, ficamos com d(x2)/dx + d(y2)/dx = d(r2)/dx.

Usando a regra da cadeia e outras propriedades da derivada, segue que, 2x + 2y(dy/dx) = 0.

Assim, 2y(dy/dx) = -2x. Daí, vem que, dy/dx = -2x / 2y = -x / y.

Logo, a equação diferencial é y' = -x / y e (A) é a opção correta.



(UFJF) Calcule o limite de (x-3) / [(x+6)^(1/2) - 3], quando x tende a 3
Solução: Usando as propriedades básicas, temos que o limite da função apresenta a forma indeterminada 0/0.

Podemos usar o teorema chamado de Regra de L'Hospital.

Calculando a derivada do numerador encontramos a constante 1.

Derivando o denominador encontramos (½)(x + 6)-1/2 - 0 = (½)(x + 6)-1/2 .

Assim, quando x tende a 3, o limite procurado é:

1 / (½)(3 + 6)-1/2 = 1 / (½)(9)-1/2 = 2(9)1/2 = 2(3) = 6.



(CICE)  Seja y(x) uma função cuja primeira derivada vale y' = 15x2 - 6x + 2. Sabendo que y(1) = 5, y(x) é igual a:

(A) 3x2 + 2x

(B) 3x3 - 2x + 4

(C) 5x3 - 3x2 + 2x + 1

(D) 5x3 - 3x2 + x + 2

(E) 5x3 - 3x2 + 2x


Solução: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, y(x) é a primitiva de y' = 15x2 - 6x + 2 , ou seja, é a integral indefinida:

integral indefinida

Temos:

y(1) = 5(1)3 - 3(1)2 + 2(1) + c = 5 - 3 + 2 + c = 5, então c = 1.

y(x) = 5x3 - 3x2 + 2x +  1.

Logo, a alternativa (C) é a correta.



(AMAN) limite de (sen 2x + sen 4x - senx)/(5sen x + sen 2x + sen 3x), quando x tende a zero.
Solução: Sabendo-se que

derivada de funções trigonométricas

Vamos aplicar a Regra de L'Hospital, ou seja, derivar o numerador e o denominador, aplicando as propriedades dos limites e da trigonometria.

Resposta: 5/10 = 0,5

Assim, o limite procurado se encontra na alternativa (D) 0,5.



(EPUSP) A derivada da função f(x) é 1 / (1 + x2). Se f(0) = 1, então f(1) é igual a:

(A) 0; (B) 1/2; (C) 1 + pi/4; (D)nra


Solução: Pelo Teorema fundamental do cálculo, f(x) é a primitiva (integral) de 1 / (1 + x2), ou seja, é o arco cuja tangente é x:

1 + arctg 1 = 1 + pi/4

Temos:

1 + pi/4

Logo, a alternativa (C) é a correta.



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