Professor Ezequias.

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(ENADE) Uma curva é tal que a tangente em cada um de seus pontos é perpendicular à reta que liga o ponto à origem. A curva satisfaz, então, a equação diferencial:
(A) y' = -x / y
(B) y' = x / y
(C) y' = y / x
(D) y' = -y / x
(E) y' = 1 / y

Solução: Uma curva com tal característica é uma circunferência de raio r com centro na origem (0 ; 0 ). A equação da circunferência de raio r com centro na origem é x2 + y2 = r2. É facil verificar isto usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa r e catetos (x - 0) e (y - 0).

Gráfico da circunferência de equação: x² + y² = 9 .

A derivada de uma curva num determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente neste ponto, ou seja, é a taxa de variação instantânea da função.

Formalmente é definida pelo limite de [ f(x + h) - f(x) ] / h quando h tendo a zero.

Vamos calcular a derivada y' = dy/dx por diferenciação implícita.

Então, ficamos com d(x2)/dx + d(y2)/dx = d(r2)/dx.

Usando a regra da cadeia e outras propriedades da derivada, segue que, 2x + 2y(dy/dx) = 0.

Assim, 2y(dy/dx) = -2x. Daí, vem que, dy/dx = -2x / 2y = -x / y.

Logo, a equação diferencial é y' = -x / y e (A) é a opção correta.




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