Professor Ezequias.

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(CAED-UFJF) Para definir o tipo de filme que será colocado em cartaz nas próximas semanas – drama ou comédia –, uma empresa fez uma pesquisa entre os frequentadores de um cinema. Todos os entrevistados gostam de pelo menos um dos dois tipos de filme. Entre eles, 120 pessoas gostam de comédia, 160 gostam de drama, e 85 gostam dos dois tipos de filme. Quantas pessoas foram entrevistadas nessa pesquisa?
(A) 110
(B) 195
(C) 280
(D) 365

Solução: Para resolver este problema podemos construir diagramas de conjuntos. Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção.

C=comédia, D=drama

Então, foram entrevistadas 35 + 85 + 75 = 195 pessoas (alternativa B).



(VUNESP) Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama, pode-se afirmar que

diagramas lógicos

(A) todos os músicos são felizes.

(B) não há cantores que são músicos e felizes.

(C) os cantores que não são músicos são felizes.

(D) os felizes que não são músicos não são cantores.

(E) qualquer músico feliz é cantor.


Solução: De acordo com o diagrama temos:

diagramas lógicos

(A) nem todos os músicos são felizes. (B) Existem cantores que são músicos e felizes. (C) Os cantores que não são músicos, não são felizes. (D) os felizes que não são músicos não são cantores. (E) Nem todo músico feliz é cantor.

Assim, a alternativa correta é a resposta (D).



(UFRJ - adaptado) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.

a) Quantos associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de futebol e natação?

b) Quantos associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de tênis e natação?


Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Como nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e  futebol, então

Problemas de conjuntos

diagramas de conjuntos

Observando o diagrama, temos o sistema de equações:

z + y + 50 = 85

z + y = 35

x + y = 17

z  + x +10 = 38

z + x = 28

Somando a segunda equação com a terceira obtemos

z + x  + y + y = 35 + 17

z + x + 2y = 52

Como z + x = 28, então:

28 + 2y = 52

2y = 52 - 28

2y = 24

y = 12

Substituindo na terceira equação, segue que:

x + 12 = 17

x = 17 - 12 = 5

Substituindo na quinta equação, ficamos com:

z + 5 = 28

z = 28 - 5 = 23.

diagramas de conjuntos

Assim, a) 23 associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de futebol e natação;

b) 12 associados se inscreveram  simultaneamente para aulas de tênis e natação.



Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

Solução: Usando os dados da pesquisa construimos o diagrama abaixo, onde x o número de elementos da interseção dos conjuntos A e B. .

problemas resolvidos de conjuntos

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.
a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80
b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.
c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.
d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.



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