Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(UERJ) Observe o mapa da região Sudeste.

Mapa do sudeste brasileiro

(Adaptado de BOCHICCHIO, V. R. Atlas atual: geografia. São Paulo: Atual, 1999.)

Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o eixo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente, (-3/2 , 0), (2 , 1/2), (3/2 , 4) e (5 , 7/2), todas medidas em centímetros.

a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por estas quatro cidades, supondo que a escala do mapa é de 1:10.000.000.

b) Determine as coordenadas de uma cidade que fique equidistante das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte.


Solução: A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria.

a) Três pontos distintos, no plano cartesiano, podem definir uma reta ou um triângulo. Se definem uma reta, dizemos que eles estão alinhados (são colineares). Se definem um triângulo dizemos que não são colineares.

Seja Det o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos  três pontos distintos. Se os pontos forem colineares, Det será igual a zero, o que não representa um triângulo. Se os pontos não forem colineares, Det será diferente de zero, o que representa um triângulo. Assim, a área deste triângulo será a metade do valor absoluto (módulo) do determinante Det.

determinante

Vamos calcular a área do triângulo de vértices A(-3/2 , 0), C(3/2 , 4) e D(5 , 7/2). Calculamos o determinante usando: -3/2 = -1,5; 3/2 = 1,5 e 7/2 = 3,5.

regra de sarrus

Como Det = -15,5, então, área deste triângulo é A1 = |-15,5| / 2 = 15,5 / 2 = 7,75 cm2.

Agora, vamos calcular a área do triângulo de vértices A(-3/2 , 0), B(2 , 1/2) e D(5 , 7/2). Calculando o determinante usando: -3/2 = -1,5; 1/2 = 0,5 e 7/2 = 3,5.

determinante

Como Det = 9, segue que, a área deste triângulo  é A2 = |9| / 2 = 4,5 cm2.

Logo, a área do quadrilátero ABCD é a soma das áreas dos triângulos:

S = A1 + A2 = 7,75 + 4,5 = 12,25 cm2.

Na escala, temos a proporção: 1cm  / 10.000.000 cm = 1 cm / 100.000 m = 1 cm / 100 km.

Por conseguinte, 1cm2 / (100 km)2 = 1 cm2 / 10000 km2 = 12,25 cm2 / x .

Então, a área procurada é x = 12,25 ×10.000 =  122.500 km2 .

b) Sendo P(x , y) a cidade em questão, temos as distâncias PA = PB = PC, ou seja, (PA)2 = (PB)2 = (PC)2.

Usando, o teorema de Pitágoras:

(PA)2 = (PC)2

(x + 3/2)2 + (y - 0)2 = (x - 3/2)2 + (y - 4)2

x2 + 3x + 9/4 + y2 = x2 - 3x + 9/4 + y2 - 8y + 16

6x + 8y = 16

3x + 8y = 8

(PA)2 = (PB)2

(x + 3/2)2 + (y - 0)2 =   (x - 2)2 + (y - 1/2)2

x2 + 3x + 9/4 + y2 = x2 - 2x + 4 + y2 - y + 1/4

3x + 9/4 = -2x + 4 - y + 1/4

5x + y = 4 + 1/4 - 9/4 = 4 - 8/4 = 4 - 2

5x + y = 2

Resolvendo este sistema de equações usando o método da adição:

sistema

A cidade P procurada tem coordenadas (0 , 2).





(PUC) A = (3 , 5), B = (1 , -1), C = (x, -16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a
(A) -5
(B) -1
(C) -3
(D) -4
(E) - 2

Solução: É possível mostrar usando semelhança de triângulos que o alinhamento de três pontos pode ser determinado aplicando o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3. Ao calcular o determinante da matriz construída utilizando as coordenadas dos pontos em questão e encontrando valor igual a zero, podemos afirmar que os três pontos são colineares (estão alinhados em uma mesma reta).

condição de alinhamento de três pontos

Usando a regra de Sarrus, temos:

determinante nulo

O determinante calculado resulta na equação: x + 48 - 5 - 3 + 5x - 16 = 6x + 24 = 0

x = -24 / 4 = -4

Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados se x = -4 (alternativa D).


(MAPOFEI) Determine a interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y = 5.


Solução: O ponto de interseção das retas é a solução do sistema formado pelas duas equações.

Multiplicando a primeira equação por -2 e depois usando o método da adição, resolvemos o sistema:

sistema

retas concorrentes

Concluimos  que a interseção é o ponto de coordenadas (1 , 1).


(MACK) A equação da reta abaixo é:

graph the function linear y=-2x-2

(A) y + 2x - 2 = 0

(B) y - x - 2 = 0

(C) y + 2x + 2 = 0

(D) y - 2x - 2 = 0

(E) y - 2x + 2 = 0



Solução: A reta passa pelos pontos (-1 , 0) e (0 , -2). Podemos encontrar a equação geral da reta usando a condição de alinhamento de três pontos.

determinante

Assim, a equação geral da reta procurada está na alternativa C) y + 2x + 2 = 0.

Podemos resolver este problema de outra maneira, pois se trata de questão de múltipla escolha. A reta tem coeficiente linear igual a -2 e tem raiz igual a -1.
Das cinco alternativas, a única equação que tem y = 0 quando x = -1 e tem x = 0 quando y = -2 é a equação C) y + 2x + 2 = 0.



(FGV) Equação de oferta (Eo) é uma função econômica que relaciona o preço de venda unitário (P) com a quantidade (x) oferecida pelo produtor. Equação de demanda (Ed) é uma função econômica que relaciona preço de venda unitário (P) com a quantidade (x) demandada pelo consumidor.
Seja Eo = 2x + P - 10 = 0
Ed = P2 - 8x - 5 = 0
Determinar o ponto de equilíbrio (PE) entre as 2 funções.
Nota:
1. O PE é dado por um par de valores (x ; P) que satisfaz as duas equações.
2. Em Economia, só interessam valores onde x é maior ou igual a zero e P é maior ou igual a zero.
(A) (-9,00 ; 0,50)
(B) (2,90 ; 4,00)
(C) (0 ; 0)
(D) (2,50 ; 5,00)

Solução: O problema trata da Lei da oferta e da procura: "Muita procura (demanda) diminui a oferta e tende a aumentar os preços. A recíproca é verdadeira: muita oferta e pouca procura (demanda) tende a diminuir o preço."
Eo é uma reta de equação geral 2x + P - 10 = 0 , isto é, P = -2x + 10 na forma reduzida.
Ed é uma parábola de equação P2 - 8x - 5 = 0.
Construindo o gráfico das duas relações, onde y é o preço unitário P, vemos que a solução do problema está na interseção da reta com a parábola no primeiro quadrante, ou seja, na solução do sistema formado pelas equações de oferta e de demanda (ou procura).
lei da oferta e da procura

Substituindo p = -2x + 10 na equação de demanda P2 - 8x - 5 = 0 , encontramos:
(-2x + 10)2 - 8x - 5 = 4x2 - 40x + 100 - 8x - 5 = 4x2 - 48x + 95 = 0.
Resolvendo esta equação do segundo grau, temos: DELTA = 2304 - 4(4)(95) = 784.
Como 784 = 2²×2²×7², a raiz quadrada de 784 é 28.
Segue que x = (48 + 28) / 8 = 9,5 , ou , x = (48 - 28) / 8 = 2,5.
Substituindo estes valores na equação de oferta, vem que:
P = -2(9,5) + 10 = -9 (este valor não interessa) , ou , P = -2(2,5) + 10 = 5.
Logo, x = 2,50 e P = 5,00, isto é, o par ordenado (2,50 ; 5,00) é o ponto de equilíbrio correspondendo a alternativa (D).

(FGV) Represente graficamente os pontos do plano cartesiano que satisfazem cada uma das relações abaixo:

LUGARES GEOMÉTRICOS.


Solução: a) O lugar geométrico dos pontos (x , y) que satisfazem a equação (x - a)² + (y - b)² = r² é uma circunferência de centro (a ; b) e raio r.
De fato, é fácil verificar isto usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa r e catetos (x - a) e (y - b). Portanto, a equação (x - 2)² + y² = 4 representa uma circunferência de centro (2 ; 0) e raio 2.

Gráfico da circunferência de equação: x² - 4x + y² = 0.

b) A representação gráfica dos pontos (x ; y) que satisfazem a equação (x/4) + (y/9) = 1 (equação segmentária) é uma reta, de equação geral 9x + 4y - 36 = 0, que passa pelos pontos (4 ; 0) e (0 ; 9).
A reta divide o plano cartesiano dando origem a dois semiplanos representados pelas inequações.
Semiplano com origem na reta x/4 + y/9 = 1 e que contém o ponto (0 ; 0).

c) O gráfico da função modular pode ser obtido de duas formas: por simetria em relação ao eixo dos x; ou a partir da definição de módulo. O módulo de um número real será ele mesmo se este número for maior ou igual a zero. O módulo de um número real será o simétrico dele se este número for negativo. Assim, o módulo de um número real será sempre um positivo.

Para representar y = |x - 2|, usando simetria, primeiro traçamos o gráfico da reta de equação y = x - 2, que passa pelos pontos (2 ; 0) e (0 ; -2). Como o módulo de um número é sempre positivo, os pontos abaixo do eixo dos x , onde y é negativo, não pertencem ao gráfico de y = |x - 2|. Tomamos, então, pontos simétricos em relação ao eixo dos x ou, em outras palavras, "rebatemos" o gráfico para cima.

Gráfico da função modular y = |x - 2|.

d) A equação do segundo grau Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 , dependendo dos valores de A, B, C, D, E, F, pode representar vários tipos de curvas: parábola, circunferência, elipse, reunião de duas retas, hipérbole, ponto ou conjunto vazio. Na equação x² - 3x + 2 = 0 , por exemplo, temos B = C = E = 0.

Usando a "fórmula de Baskara", ou a fatoração x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) = 0 , encontramos x = 1 ou x = 2.

duas retas paralelas ao eixo dos y

Assim, para todo y real, o lugar geométrico dos pontos (x , y) que satisfazem a equação x² - 3x + 2 = 0 é a união das retas, x = 1 ou x = 2 (duas retas paralelas ao eixo dos y).




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