Professor Ezequias.

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(OBM) O primeiro número de uma sequência é 7. O próximo é obtido da seguinte maneira: Calculamos o quadrado do número anterior 72 = 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algarismos e adicionamos 1, isto é, o segundo número é 4 + 9 + 1 = 14. Repetimos este processo, obtendo 142 = 196 e o terceiro número da sequência é 1 + 9 + 6 + 1 = 17 e assim sucessivamente. Qual o 2002o elemento desta sequência?

Solução: O primeiro termo é 7. O segundo é 14. O terceiro é 17. Continuando o processo, segue que:

172 = 289.

2+8+9+1 = 20

202 = 400.

4+0+0+1 = 5

52 = 25.

2+5+1= 8

82 = 64.

6+4+1 = 11

112 = 121.

1+2+1+1= 5

52 = 25.

2+5+1= 8

E a sequência, exceto pelos 4 primeiros termos, é repetitiva:

sequência com regularidade 5 , 8 , 11

Observe que os termos onde aparece o número 8, são: 6, 9, 12, 15 etc. Então os números que representam as posições do número 8 na sequência são múltiplos de 3. Como 2001 é múltiplo de 3, então o 2001o elemento  (termo) da sequência é o 8. O 2000o elemento da sequência é o 5, pois vem antes do 8. Como o 11 vem depois do 8, o 2002o elemento da sequência é o 11.



"A Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas." (POINCARÉ). Dado um triângulo isósceles ABC abaixo, calcule a medida do ângulo x?

KLB o Problema do triângulo russo


Solução: Trata-se de um problema geométrico resolúvel por construção. Este desafio é conhecido como: Karma de Newton, triângulo de Langley ou triângulo russo.

Podemos (por simetria) refletir o desenho inteiro em relação a linha AB, o que cria o  losango ALBL' , onde AB é perpendicular a LL' (cruzam a 90 graus).

Mantém-se para preencher os ângulos em falta, usando os seguintes fatos da Geometria Plana: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes;  Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele; A soma dos ângulos ínternos de qualquer triângulo é igual 180 graus.

problema resolvido por construção

x = 180 - 20 - 130 = 30 graus



(UNESP) Sobre uma reta marcam-se três pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se cinco pontos. O número de triângulos que obteremos unindo três quaisquer destes oito pontos é:
(A) 26
(B) 90
(C) 25
(D) 45
(E) 42
Solução: Obter triângulos unindo quaisquer deste pontos é um problema de análise combinatória.

duas retas paralelas

O número de triângulos com 2 vértices na primeira reta e 1 vértice na segunda reta é

C3,2 = 5×3×2 / 2! = 5×3 = 15.

O número de triângulos com 2 vértices na segunda reta e 1 vértice na primeira é

C5,2 = 3×5×4 / 2! = 3×10 = 30.

Então, o número de triângulos é 15 + 30 = 45 (alternativa D).


Um estudante com 6 palitos de fósforos iguais formou, com todos eles ao mesmo tempo, 4 triângulos iguais. Como ele fez isto?
Solução: Observe que resolver este problema no plano (Geometria Plana) é impossível. É necessário trabalhar com os palitos no espaço tridimensional (Geometria Espacial).

Desse modo, o estudante construiu um sólido geométrico, da família dos poliedros, conhecido como pirâmide triangular regular (tetraedro).

tetraedro = poliedro de 4 faces

Nessa pirâmide, as 4 faces são os 4 triângulos iguais e as 6 arestas são os 6 palitos de fósforos.




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