Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(FESP) A reta (t) é tangente à curva, cuja equação é y = x²+3 no ponto de abscissa x=1. Uma equação da reta (t) é:
(A) y = x+1
(B) y = x+2
(C) y = 2x-1
(D) y= 2x+1
(E) y= 2x+2

Solução: Para x=1, temos y = 1+3 = 4, ou seja, o ponto de tangência é p(1 , 4).
O coeficiente angular (declividade ou inclinação) da reta tangente a uma curva f(x) no ponto p é a derivada de f(x) no ponto p.
derivada de função polinomial
Calculando a derivada da função f(x) = x²+3, encontramos:
f '(x) = 2x2-1+0(3x)0-1 = 2x+0 = 2x .
função derivada y=2x
Então, a derivada no ponto p(1 , 4), vale: f '(1) = 2(1) = 2.
A equação da reta (t) será: y = ax+b = 2x+b.
No ponto p(1 , 4) teremos: 4 = 2(1)+b.
Logo, b=2.
Assim, a equação da reta procurada é: y=2x+2 (alternativa E).

De outro modo: A reta (t) é tangente, portanto ela passa pelo ponto p(1,4).
Como se trata de questão de múltipla escolha, substituindo x=1 e y=4 em cada alternativa, vemos que a única alternativa correta é a (E) y = 2x+2, pois 4 = 2(1)+2.



(CESGRANRIO) Sendo f(x) = x^3 , calcule o limite de  [ f(x + h) - f(x) ] / h , quando h tende a zero.
Solução: Este limite define formalmente o conceito de derivada de uma função:
f '(x), dy/dx ou y'.

Assim, limite é a derivada:
d(x³) / dx = 3(x3-1) = 3x².

De fato, se f(x) = x³ , então, f(x + h) = (x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³.

Vem que, f(x + h) - f(x) = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - x³ = 3x²h + 3xh² + h³ = h(3x² + 3xh + h²).

Segue que, [ f(x + h) - f(x) ] / h = (3x²h + 3xh² + h³) / h = 3x² + 3xh + h² .

Assim, calculando o limite de [ f(x + h) - f(x) ] / h quando h tendo a zero, encontramos 3x² + 3x(0) + (0)² = 3x².
Logo, (D) é a alternativa correta.



(FESP) Considere a função real f definida por
f(x)=x^1/2
O valor da derivada primeira de f no ponto x=4 é:
(A) 1/4
(B)1/2
(C)1
(D) 2
(E) 4

Solução: Calculando a derivada:
(1/2)x^(-1/2)
Calculando a derivada de f no x=4.
1/4
Assim, f '(4) = 1/4 (alternativa A).

(ENADE) Uma curva é tal que a tangente em cada um de seus pontos é perpendicular à reta que liga o ponto à origem. A curva satisfaz, então, a equação diferencial:
(A) y' = -x / y
(B) y' = x / y
(C) y' = y / x
(D) y' = -y / x
(E) y' = 1 / y

Solução: Uma curva com tal característica é uma circunferência de raio r com centro na origem (0 ; 0 ). A equação da circunferência de raio r com centro na origem é x2 + y2 = r2. É fácil verificar isto usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa r e catetos (x - 0) e (y - 0).

Gráfico da circunferência de equação: x² + y² = 9 .

A derivada de uma curva num determinado ponto é o coeficiente angular da reta tangente neste ponto, ou seja, é a taxa de variação instantânea da função.

Vamos calcular a derivada y' = dy/dx por diferenciação implícita.

Então, ficamos com d(x2)/dx + d(y2)/dx = d(r2)/dx.

Usando a regra da cadeia e outras propriedades da derivada, segue que, 2x + 2y(dy/dx) = 0.

Assim, 2y(dy/dx) = -2x. Daí, vem que, dy/dx = -2x / 2y = -x / y.

Logo, a equação diferencial é y' = -x / y e (A) é a opção correta.


(ENADE) A área máxima que pode ter um retângulo inscrito em um semicírculo de raio 1, como o da figura abaixo é:

Retângulo ABCD inscrito na metade do círculo de raio r = 1.
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 1
(D) 3/2
(E) 2


Solução: Seja O o centro do círculo de raio 1. Como o retângulo ABCD está inscrito no semicírculo deste círculo, então os segmentos AO = DO = 1 , pois o raio r = 1.

derivada aplicada na geometria

Calculando a área A do retãngulo, de base BC = 2 cos x e altura DC = sen x, em função de x teremos A(x) = 2(cos x)(sen x) .

A(x) será máximo quando a derivada A'(x) = dA / dx = 0.

Calculando a derivada, usando a trigonometria e a fórmula da derivada do produto:

derivada do produto

Encontramos:

derivada aplicada na trigonometria

A opção (C) é a correta.



Um gerador de corrente contínua (uma bateria por exemplo) tem uma força eletromotriz de E volts e uma resistência elétrica interna de r ohms. E e r são constantes.
Se R ohms é a resistência elétrica externa, então o valor da resistência total do circuito é (r + R) ohms. Pela Lei de Ohm a corrente elétrica é E / (r + R) àmperes.
Se P watts é a potência elétrica consumida por R, então, P = (E2R) / (r + R)2. Qual é a resistência externa R que consumirá o máximo de potência P?

Solução: P e R são valores positivos e P depende de R (P está em função de R). Observe que a medida que R se aproxima de zero ou se aproxima de um valor infinitamente grande, P diminui. Então existe um valor de R que torna P máximo. Teremos uma máxima transferência de energia, ou seja, consumo máximo de potência P quando a derivada de P, com respeito a R, for igual a zero.

Calculando a derivada de P usando a fórmula da derivada do quociente:

derivada do quociente

Temos:

casamento de impedância

Assim, para que haja a máxima transferência de energia (P máximo) é necessário que a resistência externa R tenha o mesmo valor da resistência interna r do gerador. Este resultado é usualmente denominado de Teorema da máxima transferência de potência, ou, princípio de casamento de impedância.


A função de produção de certa mercadoria é dada por: f(x,y) = x + (5/2)y - (1/8)x2 - (1/4)y2 - 9/8. As quantidades dos fatores de produção são dadas por 100x e 100y, cujos preços unitários são, respectivamente, 4 dólares e 8 dólares. A quantidade produzida é 100z, com preço de 16 dólares. Determine o lucro total máximo.

Solução: Temos uma função produção de duas variáveis. Se os fatores de produção são dados por x e y e z dá o montante da produção, então z = f(x,y) = x + (5/2)y - (1/8)x2 - (1/4)y2 - 9/8.

Logo, calculando as derivadas parciais de P (com respeito as variáveis x e y):

Usando o teorema do teste da derivada segunda, segue que:

delta = 320000

valor máximo absoluto

Assim, o valor de z no ponto (3 , 4) é f(3,4) = 3 + (20/2) - (9/8) - (16/4) - (9/8) = 3 + 10 - 4 -(9/4) = 27/4.

Logo, o lucro máximo é:

P = 1600 (27/4) - 400 (3) - 800 (4) = 10800 - 1200 - 3200 = 6400.

Concluindo: O lucro máximo é 6400 dólares.


Uma caixa retangular, sem tampa, deve ter 32m3 de volume. Quais devem ser suas dimensões, para que sua superfície total seja mínima?
Solução: Sejam x, y, z as arestas da caixa sem tampa (prisma quadrangular), onde x, y e z estão no intervalo aberto entre o zero e o infinito positivo. Portanto, o valor mínimo absoluto da área de superfície S estará entre os valores mínimos relativos de S.

paralelepípedo

Calculamos as derivadas parciais de S e as igualamos a zero, pois queremos encontrar x, y e z que tornam S mínimo.

x = 4 , y = 4, z = 2

Usando o teorema do teste da derivada segunda para x = y = 4 e z = 2 , segue que:

 valor mínimo absoluto

Concluindo: para que sua superfície total seja mínima, a caixa, com 32m3, tem que ter base quadrada de lado 4 m e uma profundidade (altura) que mede 2m.



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