Professor Ezequias.

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(SAERJ) O proprietário de uma fazenda adquiriu alguns pássaros, que se alimentam de lagartas, para acabar com a praga que infestou sua plantação.
A equação L(t) = 4t2 - 80t + 400 representa o número de lagartas L(t), em milhares, após t dias da presença dos pássaros na plantação. Qual é o tempo gasto para acabar com a população de lagartas?

(A) 10 dias
(B) 40 dias
(C) 200 dias
(D) 400 dias
Solução: O número de lagartas L(t) está em função (depende) do tempo t (número de dias) por meio da equação L(t) = 4t2- 80t + 400. Para resolver este problema temos que encontrar o valor de t quando L(t) = 0.

Resolvendo a equação do segundo grau 4t2- 80t + 400 = 0, vem que o discriminante é

DELTA = 802 - 4(4)(400) = 6400 - 6400 = 0

Então, t = (80 + 0) / 8 , ou , t = (80 - 0) / 8.

Logo, t = 10 dias (alternativa A).



Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x2 - 2 x - 3 ?
Solução: Os valores de x que anulam uma função são chamados de raízes ou zeros .
Temos uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c , onde a = 1, b = -2 e c = -3.

Resolvendo a equação do segundo grau x2 - 2x - 3 = 0 , encontramos estes valores.

Esta equação pode ser resolvida com a fórmula quadrática:

quadratic formula x = (-b + ou - raiz quadrada de delta) / 2a

Calculando o discriminante, DELTA = (-2)2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16.

Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = (2 - 4) / 2 = -1.

Assim, os valores de x que anulam   f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3.

Graph of the quadratic function y=x-2x-3

Este valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixo x (eixo das abscissas). Observe também o termo independente c = -3, mostra onde a parábola corta o eixo y (eixo das ordenadas).



Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação:
y = -0,1x2 + 15x (onde x e y são medidos em metros).

a) Determine, em metros,  a altura máxima atingida pela bala.

b) Calcule , em metros, o alcance do disparo.


Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero.

O valor máximo (ou mínimo) desta função é o y do vértice da parábola, ou seja,

Vertex of a Quadratic Function

DELTA = b - 4ac = 152 - 4(-0,1)(0) = 225

Então, a altura máxima da bala é:

y = -(225) / -4(-0,1) = -225 / -0,4 = 2250 / 4 = 562,5 m.

Lançamento de projetil balístico.

b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -0,1x2 + 15x = 0.

Vem que: -0,1x2 + 15x = x(-0,1x + 15) = 0.
Então, x = 0 , ou , -0,1x + 15 = 0.

Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 15 / 0,1 = 150.
Assim, o alcance do disparo é de 150 - 0 = 150 m.

Este procedimento é conhecido como lançamento de projetil.



Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação:
y = -3x2 + 60x (onde x e y são medidos em metros).

a) Calcule o alcance do disparo.

b) Qual é a altura máxima atingida pela bala?


Solução: a) Temos que resolver a equação: -3x2 + 60x = 0 para encontrar o alcance do disparo (diferença entre as raízes da função).

Calculando o valor do discriminante, DELTA = 602 - 4(-3)(0) = 3600.

Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que:

x = (-60 + 60) / -6 = 0

ou

x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20

Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m.

Esboço de um lançamento de projetil

b) Altura  é o y do vértice da parábola.

y = -3600 / -12 = 300.

Assim, a altura máxima da bala é 300 m.



O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função:
L(x) = -x2 + 14x - 40.
Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?


Solução: Observando o vértice da parábola, temos que o valor de uma função
f(x) = ax2 + bx + c é máximo (ou mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a.

Então, L(x) = -x2 + 14x - 40 tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7.  

Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o lucro seja máximo.

Graph of the quadratic function y=-x+14x-40.

De outro modo, observe que resolvendo a equação -x2 + 14x - 40 = 0 , encontramos:

x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10.

Pela simetria da parábola, o lucro tem valor máximo quando x é igual a média aritmética das raízes.

Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças.

OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo Diferencial .
Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14.
A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0 .
Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.





Dada a função quadrática y = -x2 + 6x - 1 , para todo x maior ou igual 3 e para todo y menor ou igual 8. Calcule a função inversa.

Solução: Como, na função do segundo grau (quadrática) do enunciado, para todo x maior ou igual 3 e para todo y menor ou igual 8, os elementos distintos do seu domínio restrito possuem imagens distintas e o conjunto imagem é igual ao contradomínio, então a função é bijetora (ou bijetiva), portanto, neste domínio, existe uma função inversa.

Na equação y = -x2 + 6x - 1 , passando o y para o outro membro, segue que:

delta = 32-4y , onde x maior ou igual a 3 e y menor ou igual 8

Trocando x pelo y, encontramos a função inversa:

y=3+(8-x)^1/2

Observe, no gráfico cartesiano, a simetria em relação a função do primeiro grau (linear) y = x (reta bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes).

simetria no gráfico cartesiano





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