Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(PUC) Um batalhão do exército, resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:

matriz criptografia

Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma:

mensagem, a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:

matriz mensagem.

Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:

matriz chave, transmite-se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:

matriz código.

Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
(A) LUTE
(B) FOGO
(C) AMOR
(D) VIDA
(E) FUGA


Solução: Para que servem as matrizes? Servem para escrever mensagens em códigos, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las (Criptografia básica). Como a matriz C codifica a mensagem, para decodificar temos que multiplicar por uma matriz D que desfaz o que matriz C faz, ou seja, temos que multiplicar pela matriz D inversa de C.
Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se , e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois resolvemos os dois sistemas de equações resultantes.

Para que servem as matrizes?

Observe que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, então, temos que decifrar a mensagem multiplicando por D=C-1 também pela direita, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:

matriz decodificada

Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1 , correspondendo a palavra VIDA.
A alternativa (D) é a opção correta.



Maria e Joćo resolveram trocar mensagens sigilosa usando funções inversas. Inicialmente, relacionam números ao alfabeto (veja a tabela abaixo onde o símbolo # representa um espaço em branco).

CRIPTOGRAFIA

Em seguida definem a função que vai codificar a mensagem: y = 2x - 3. Assim, por exemplo, à mensagem REVISTA, Maria associa a sequência numérica 18 5 22 9 19 20 1 , mas envia a Joćo a sequência numérica obtida pelas imagens da função y = 2x - 3, ou seja, 33 7 41 15 35 37 -1. Desta forma se Maria envia a Joćo, utilizando-se da mesma função, a sequência -1 3 7 33 37 27 39 , qual é a mensagem que será compreendida pelo Joćo?


Solução: Uma função é inversa de uma outra quando ela desfaz o que outra faz e vice-versa.
Se a função que codifica (cifra) a mensagem é a função y = 2x - 3, então a função que decodifica (decifra ou traduz) é a função inversa de y = 2x -3. Para calcular a função inversa de y = 2x - 3 , trocamos o x pelo y e depois isolamos o y.

Então, x = 2y - 3 , o que implica em -2y = -x - 3, isto é, 2y = x + 3. Logo y = (x + 3) / 2 é a função inversa.

Como Maria enviou a sucessão -1 3 7 33 37 27 39 , obtida pelas imagens da função y = 2x -3, Joćo, para entender a mensagem, tem que obter a sucessão pelas imagens de y = (x + 3) / 2 :
Para x = -1, temos y = (-1 + 3) / 2 = 1 ;
Para x = 3 , temos y = (3 + 3) / 2 = 3 ;
Para x = 7, temos y = (7 + 3) / 2 = 5 ;
Para x = 33 , temos y = (33 + 3) / 2 = 18 ;
Para x = 37, temos y = (37 + 3) / 2 = 20 ;
Para x = 27, temos y = (27 + 3) / 2 = 15 ;
Para x = 39, temos y = (39 + 3) / 2 = 21.

Assim a mensagem entendida (decodificada) por Joćo é 1 3 5 18 20 15 21, o que corresponde a mensagem ACERTOU.




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