Professor Ezequias.

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(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos. Começamos sempre pela intersecção (8%). Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção.

Diagrama de Venn - Euler.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.





Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é:
(A) 4 000
(B) 3 700
(C) 3 500
(D) 2 800
(E) 2 500

Solução:  Resposta na altermativa (B). Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado. Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção x.

Diagramas de conjuntos

Temos que  4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.  



(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989.
A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

Solução: Temos que encontrar o menor número (diferente de zero) que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, ou seja, temos que encontrar o Mínimo Múltiplo Comum de 3, 4 e 6.
2x2x3=12
Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.


Em uma prova discursiva de Matemática com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Solução: Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe que a interseção entre P1 e P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

diagrama de conjuntos

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.





Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Solução: Começamos sempre colocando no diagrama o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção

200 - 20 = 180 ;
150 - 20 = 130 ;
100 - 20 = 80 ;
600 - 180 - 20 - 130 = 270 ;
400 - 180 - 20 - 80 = 120 ;
300 - 130 - 20 - 80 = 70.
270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870

Diagrama onde: M = Moreninha, H = Helena e S = Senhora.

Assim:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras 270 + 120 + 70 = 460 :
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras x = 1000 - 870 = 130 ;
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras 180 + 20 + 130 + 80 = 410



(PUC - adaptado) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

400;1220;1080;220;180;800;100;x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:
(A) 200
(B) 300
(C) 600
(D) 900
(E) 1000


Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos. Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção. Note que a intersecção dos três conjuntos E,N e H possui 100 elementos.

Diagrama de Venn - Euler.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200.
Assim, (A) é a opção correta.




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