Professor Ezequias.

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(UFRJ) Seu Joaquim tem uma balança de tarar (balança de pratos) e uma coleção de "pesos" de 10, 30, 60 e 150 gramas. Ele colocou um saco de arroz de 1,31kg em um dos pratos da balança.

massa

Determine o número mínimo de "pesos" que devem ser postos no outro prato para que a balança fique equilibrada.


Solução: O saco de arroz pesa 1,31kg = 1310 gramas. Como queremos determinar o número mínimo de "pesos", temos que usar o maior número de "pesos" de 150 gramas, depois, se for preciso, usar o maior número de "pesos" de 60 gramas, de 30 gramas, e assim sucessivamente.

Para equilibrar 1310g,  ao colocarmos 8×150 = 1200g ,  fica faltando 1310 - 1200 = 110g.

Para equilibrar 110g, colocamos mais 1×60 = 60g e ainda fica faltando 110 - 60 = 50g.

Para equilibrar 50g, colocamos 1×30 = 30 g e ainda fica faltando 50-30 = 20g.

Finalmente equilibramos 20 g com 2×10 = 20g e a balança fica equilibrada.

Portanto foi preciso 8 + 1 + 1 + 2 = 12 "pesos".



(COLÉGIO MILITAR) O número inteiro positivo N, de dois algarismos, quando dividido por 15 dá quociente A e resto B e quando dividido por 8 dá quociente B e resto A. A soma de todos os valores de N é igual a:
(A) 112
(B) 144
(C) 160
(D) 255
(E) 336
Solução: Pelo algoritmo da divisão temos:

N = 15A + B , onde B pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,..., 14} e

N = 8B + A, onde A pertence ao conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7}

Então, 15A + B = 8B + A

14A = 7B

2A = B

Logo, Substituindo os valores teremos:

N = 15A + 2A = 17A, ou N = 8(2A) + A = 16A + A = 17A.

Portanto, N é múltiplo de 17. Assim, N pertence a {0, 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119}.

Como N tem dois algarismos, o valor procurado é:

17+34+51+68+85 = 255 (opção D).



Na figura abaixo  temos: AB = BC = AC = 10 cm ; M é ponto médio de AB ; CD = 12 cm.

Teorema de Menelaus

Qual á medida do segmento EC ?


Solução:

Vamos usar o método da construção:

problema de geometria resolvido por construção

Construindo um segmento MN paralelo ao segmento AC encontramos que os triangulos ABC e MBN são semelhantes e N é ponto médio de BC, ou seja, BN = NC = MN = BM = AM = 5 cm. De modo análogo, os triângulos MND e ECD são semelhantes. Portanto temos a proporção:

MN / EC = ND / CD , ou seja, 5 / EC = 17 / 12

Segue que, 60 = 17EC.

Então, EC = 60 / 17 = 3,53 cm.

Poderíamos, também, usar o Teorema de Menelaus:

Teoremas de Ceva e Menelaus

Assim, (12 / 22)×(5 / 5)×(AE / CE) = 1

Logo, AE / CE = 22 / 12 = 11 / 6 , ou melhor, AE / 11 = EC / 6 .

Como AE + CE = 10 cm, vem que , AE / 11 = EC / 6 = 10 / 17.

Logo, EC = 60 / 17 = 3,53 cm.



Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²?
Solução: Quanto maior for área a ser pintada, maior será, na mesma proporção, a quantidade de tinta a ser usada (grandezas diretamente proporcionais) . Assim, temos a proporção:

14 / x = 35 / 15

210 = 35x

x = 210 / 35 =  6 litros.


(CAIP/IMES) Observe a figura abaixo:

A área dessa figura é de _______ cm2.
O perímetro dessa figura é de ______ cm.
(A) 43,56 cm2                   48,20 cm
(B) 48,40 cm2                   48,40 cm
(C) 53,24 cm2                0,60 cm
(D) 43,56 cm2                   48,40 cm
(E) 48,40 cm2                46,20 cm


Solução: Temos 10 quadrados. Cada quadrado tem 2,2×2,2 = 4,84 cm2 de área .

A área total é 10×4,84 = 48,4 cm2.

O perímetro (medida do contorno da figura) é 22×2,2 = 48,4 cm. (alternativa C)



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