Professor Ezequias.

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(PETROBRAS) Sejam w = 3 - 2i e y = m + pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. Se w + y = -1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a

(A) -4 e +1

(B) -4 e +5

(C) +2 e +1

(D) +2 e +5

(E) +4 e -1


Solução: Temos que:

w + y = 3 - 2i + m + pi = (3 + m) + (-2 + p)i

Como w + y = -1 + 3i,

Segue que:

3 + m = -1

e

-2 + p = 3

Logo,

m = -1 - 3 = -4

e

p = 3 + 2 = 5

Assim, a resposta correta está na alternativa (B).



(PETROBRAS) Sejam z1 = a + bi e z2 = b + ai dois números complexos, com a e b reais no nulos. Pode-se afirmar que o produto z1×z2 é um número cujo afixo é um ponto situado no

(A) eixo imaginário.

(B) eixo real.

(C) 1o quadrante.

(D) 3o quadrante.

(E) 4o quadrante.


Solução: Os números complexos podem ser representados geometricamente no plano complexo (plano de Argand-Gauss). O plano complexo é um plano cartesiano onde o eixo das abcissas representa a parte real e o eixo das ordenadas a parte imaginária. Assim, o número complexo a+bi será o ponto de coordenadas (a,b).

plano complexo

z1 e z2 são números complexos onde a e b são números reais diferentes de zero. Usando a propriedade distributiva segue que:

z1×z2 = (a + bi)(b + ai) = ab + a2i + b2i + abi2

Como i2 = -1, então:

z1×z2 = ab + (a2 + b2)i - ab = 0 + (a2 + b2)i

Logo, z1×z2 = (a2 + b2)i , é um número imaginário puro, portanto, é um ponto situado no eixo imaginário (opção A).



Um circuito elétrico de corrente alternada em paralelo é ligado a uma fonte de 220V - 60Hz. Sabe-se que um dos ramos do circuito contém 30 ohms de resistência elétrica e 40 ohms de reatância indutiva, e que o outro ramo apresenta 50 ohms de resistência elétrica e 80 ohms de reatância capacitiva.
circuito LC paralelo
A impedância (oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente alternada), em ohms, do ramo com reatância indutiva (oposição que a corrente alternada sofre ao passar por um indutor ou bobina L) pode ser expresso na forma do número complexo
Z1 = 30 + 40j, onde j2 = -1.
Na Física e na Engenharia o j é usado como unidade imaginária. Convém usar o j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente elétrica.
De modo análogo, a impedância, em ohms, do ramo com reatância capacitiva (oposição que a corrente alternada sofre ao passar por um capacitor C) pode ser dado na forma do número complexo
Z2 = 50 - 80j, onde j2 = -1.
A impedância total Zt (ou impedância equivalente), em ohms, de um circuito associado em paralelo é dado por:
Zt = (Z1×Z2) / (Z1+Z2).
Qual o valor, em ohms, expresso na forma de números complexos, da impedância total do circuito?


Solução: Esta é uma das inúmeras aplicações dos números complexos: representar uma grandeza escalar como uma grandeza vetorial (vetor no plano), dada a conveniência desta medida no estudo dos circuitos elétricos de corrente alternada.

Usando a propriedade distributiva, temos que Z1×Z2 = (30 + 40j)×(50 - 80j) =

1500 - 2400j + 2000j - 3200j2 =

1500 - 2400j + 2000j - 3200(-1) =

1500 - 2400j + 2000j + 3200 = 4700 - 400j .

Segue que Z1+Z2 = 30 + 40j + 50 - 80j = 80 - 40j, onde j2 = -1.

Então, Zt = (4700 - 400j) / (80 - 40j) .

Multiplicando os termos da divisão pelo conjugado do divisor, observando que j2 = -1, ficamos com:

Zt = (4700 - 400j)(80 + 40j) / (80 - 40j)(80 + 40j) = (392000 + 156000j) / (1600 + 6400).

Logo, a impedância equivalente (em ohms) do circuito é :

Zt = (392000 + 156000j) / 8000 = 49 + (39/2)j = 49 + 19,5j, onde j2 = -1.


(UERJ) Sabendo-se que k é um número real e que uma das raízes da equação x3 - 4x2 + 6x + k = 0 é 1+i.

a) calcule k ;

b) determine as demais raízes da equação.


Solução: a) Se o número complexo 1 + i , onde i2 = -1, é uma raiz da equação ,
então, (1 + i)3 - 4(1 + i)2 + 6 (1 + i) + k = 0. Daí , vem que (1 + i)(1 + i)2 - 4(1 + i)2 + 6(1 + i) + k = 0.

Como (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i, a equação fica (1 + i)(2i) - 4(2i) + 6(1 + i) + k = 0.

Isto implica em 2i - 2 - 8i + 6 + 6i + k = -6i + 4 + 6i + k = 4 + k = 0. Logo, k = -4.

b) Se uma equação algébrica de coeficientes reais admite como raiz o número complexo a + bi (b não nulo), então também admite como raiz o conjugado de a + bi, ou seja, o número complexo a - bi . Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x3 - 4x2 + 6x - 4 = 0 . Como os coeficientes são reais, se x1 = 1 + i , então x2 é um número complexo conjugado de x1, ou seja, x2 = 1 - i.

Para uma equação do terceiro grau (cúbica), da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as raízes, temos as seguintes relações de Girard :
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = - d/a

Segue que, x1 + x2 + x3 = 4 .

Então, 1 + i + 1 - i + x3 = 4.
Segue que, 2 + 0 + x3 = 4 , logo , x3 = 2.

Assim, as demais raízes são: x2 = 1- i e x3 = 2 .


(VUNESP) Considere o número complexo z = i , onde i é a unidade imaginária. O valor de z4 + z3 + z2 + z + 1/z é:

(A) -1        (B) 0          (C) 1          (D) i           (E) -i


Solução: Temos que i é o número imaginário, ou seja, i é um número tal que i² = -1.
Como z é um número complexo e z = i , vem que:
z4 + z3 + z2 + z + 1/z =
= i4 + i3 + i2 + i + 1/i =
= (i²)2 + (i²)i + i² + i + 1/i =
= (-1)2 + (-1)i + (-1) + i + 1/i =
= 1 - i - 1 + i + 1/i = 1/i .
Multiplicando o numerador e o denominador por i, ficamos com:
1/i = 1(i) / i(i) =
= i / i² = i / (-1) = -i.
Logo, (E) é a alternativa correta.


(UNICAMP) Identifique o lugar geométrico dos pontos z = x + iy do plano complexo, tais que Re (1/z) = 1/4.
Solução: Todo número complexo z = x + yi, não nulo (x e y diferentes de zero), possui um inverso multiplicativo 1/z.

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, observando que i = -1, temos:

1/z = (x-yi)/(x+y).

Temos que a parte real do inverso de z é 1/4. Na equação formada,  somamos ambos os membros por 4, completando o quadrado.

(x-2) + y = 4 .

circunferência no plano complexo

Assim, o lugar geométrico dos pontos z, de modo que a parte real do inverso de z seja 1/4, é uma circunferência de centro (2 , 0) e raio 2.



Dados os números complexos: z = 6 (cos 75o + i sen 75o) e w = 2 (cos 15o + i sen 15o), é correto afirmar:

fasores


Solução: Para multiplicar dois números complexos no nulos, na forma polar (ou trigonométrica), devemos multiplicar os módulos e somar os argumentos (ângulos).

Para dividir dois números complexos, no nulos, na forma trigonométrica, devemos dividir os módulos e subtrair os argumentos.

fasor

Logo, a alternativa (D) é a correta.





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