Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

Para que servem os números complexos?
Resumo, palavras-chave, conclusões e bibliografia da monografia apresentada (Prof. Ezequias - 1998), ao Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM/UFRJ), como trabalho de conclusão do curso (TCC) de Licenciatura em Matemática. Orientação do professor Bernardo Felzenszwalb e colaboração da Professora Vânia Maria Pereira dos Santos.
Resumo:
Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos. No século XVIII são mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais. No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.

Conclusões e bibliografia:
As equações de segundo grau com discriminante (delta) negativo não motivaram o aparecimemto dos números complexos. Que significado teriam os números negativos e as raízes quadradas destes? ( [1] Boyer; [42] The Times; [4] Kasner & Newman; [11] Smith; [2] Green ; Estereometria de Heron (c. 75 d.C); A Arithmética de Diophanto (c. 275 d.C.); O Bija-Ganita de Baskara (c. 1150)  ).
Os números complexos emergiram em pleno momento histórico chamado de Renascença (1400-1600), onde tivemos, estimulados pelo desenvolvimento comercial e pelo crescimento das cidades européias, o desenvolvimento da Matemática através dos trabalhos de Paccioli (1494), Tartaglia e Cardano (1545). Os complexos não foram aceitos naturalmente como números. Não havia sentido (significado geométrico) em uma raiz quadrada de um número negativo. ( ( [17] Millies; [32] Witmer; [15] Ricieri; Triparty en la science des nombres de Chuquet (1484); Summa Arithmetica de Paccioli (1494) ).
As equações cúbicas estudadas por Cardano (1545) e Bombelli (1572) motivaram a utilização dos números complexos. Foi necessário trabalhar com os números complexos, "como se fossem números", para achar a solução real (positiva) x = 4 do problema: "Seja x3 o volume de um cubo de aresta x e 15x o volume de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é 15 e cuja altura é igual à aresta do cubo. Determine x de modo que x3 = 15x + 4 ". Foi encontrada uma dificuldade ao aplicar o método (fórmula) de Cardano nesta equação de terceiro grau, pois apareceu na solução uma raiz quadrada de número negativo:

x = 4 ?

Como uma solução com radicais de números negativos poderia produzir uma solução real positiva x = 4 ?

A fórmula de Cardano está errada?

x = 4 ?

( [1] Boyer; [17] Millies; [32] Witmer; [5] Caraça ; [15] Ricieri; Ars Magna de Cardano (1545); L'Algebra de Bombelli (1572) ).


O símbolo para a raiz quadrada de -1,

(-1)^1/2,

 introduzido por Girard (1629), passou a ser representado pela letra i a partir de Euler (1777). Foi Descartes (1637) quem introduziu os termos real e imaginário. A expressão números complexos foi usada pela primeira vez por Gauss (1831). ( [1] Boyer; [15] Ricieri ; Invention novelle en L'Algebre de Girard (1629); La Géométrie de Descartes (1637); Analysin infinitorum de Euler (1748) ).


Cardano (1545), Bombelli (1572) e Leibniz (1676) conjecturaram que a soma de dois complexos conjugados daria um números real. Cauchy (1829), Hermite (1865), entre outros, constataram estas propriedade. Girard (1629), Descartes (1673) e D'Alembert (1746) conjecturaram o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), que foi provado por Gauss (1798). ( [11] Smith; [1] Boyer; [15] Ricieri; [34] Mac Tutor; [35] Mathematics; [6] Eves; Analyseos Miraculum de Leibniz (1702); Invention novelle en L'Algebre de Girard (1629); Reflexions sur la cause générale des vents de D'Alembert (1746) ).
Girard (1628), Wallis (1685), Argand (1790) e Wessel (1797), independentemente motivados pela Geometria e pela Topografia, representaram geometricamente, de maneira intuitiva e prática, os complexos como pontos (vetores) num plano cartesiano. Gauss (1831) e Hamilton (1833) redescobriram a representação geométrica e definiram os complexos. Gauss os definiu como números da forma a+bi, onde a e b são números reais e i2 = -1. Hamilton os definiu como o conjunto dos pares ordenados (vetores) (a,b), onde a e b são números reais, identificando (0,1) com 0+i e (1,0) com 1+0i . Hamilton associou a multiplicação (a,b)×(x,y) = (ax-by , ay+bx) a uma operação envolvendo a rotação de vetores em torno da origem. Multiplicar por i envolve uma rotação de 90 graus, multiplicar por i2 = -1 envolve uma rotação de 180 graus, multiplicar por i3 = -i envolve uma rotação de 270 graus e assim por diante.

Representação geométrica de um número complexo no plano de Argand - Gauss.

A representação geométrica permitiu que os complexos fossem visualizados, por conseguinte, aceitos como números. A possibilidade de extrair a raiz enésima de um complexo dada por Cotes (1714), Moivre (1730), D'Alembert (1746), Euler (1748) e Picard (1871), sinalizando que o sistema dos números complexos é algebricamente fechado, também contribuiu para isso. ( [11] Smith; [5] Caraça; [1] Boyer; [2] Green; [3] Baumgart; [15] Ricieri; Invention novelle en L'Algebre de Girard (1629); Treatise of Algebra de Wallis (1673); Essai sur une maniére de representer les quantités imaginaires dans le constructions geométriques de Argand (1790); On the analytical representation of direction de Wessel (1797); Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis de Moivre (1730); Analysin infinitorum de Euler (1748); Reflexions sur la cause générale des vents de D'Alembert (1746) ).


Foi a necessidade, imposta pelo método de Cardano, de se trabalhar com os números complexos antes de compreendê-los como números, que determinou o uso das raízes de números negativos antes dos negativos serem aceitos como números. O significado geométrico dos números negativos surgiu com a representação geométrica dos complexos. Hankel (1867), trabalhando com a álgebra dos números complexos e as leis fundamentais da aritmética, estabeleceu a regra ("regra dos sinais") da multiplicação (-1) × (-1) = 1 (o produto de dois números inteiros negativos é sempre positivo) para a permanência da propriedade distributiva a(b+c) = ab + ac. Por exemplo:

prova da regra: menos x menos = mais

Assim, terminava a polêmica entre os que ainda não aceitavam e os que aceitavam os números negativos como números. ( [10] Medeiros & Medeiros ; [30] Felzenswalb ; Theorie der Komplexen Zahlensysteme de Hankel (1867) ).


O conjunto dos números complexos só serve para resolver equações algébricas? A álgebra dos números complexos permite representar e operar vetores no plano.

fasores = vetores que giram em torno da origem.

É mais fácil operar (somar, multiplicar, etc.) com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que operar com funções trigonométricas (senos e cossenos) de diferentes amplitudes e fases. ( [13] Tipler; [9] Barradas; [21] Barradas; [31] Bolton; [8] Cavalcante; [12] Cutler ).


O conjunto dos complexos é uma extensão dos reais? Existe nos complexos um subconjunto (eixo x) que "é uma cópia perfeita dos reais", isto é, os reais e os complexos da forma (a,0) são identificados por meio de uma função injetora (injetiva) e sobrejetora (sobrejetiva), que preserva as operações de adição e multiplicação de complexos (isomorfismo). Então, colocando "a cópia no lugar do original", podemos dizer, "por abuso de linguagem", que os complexos contêm os reais. ([24] Neto; [40] Carneiro).
O plano complexo (de Argand_Gauss) e o plano cartesiano (da Geometria Analítica) são iguais? Sob ponto de vista da Álgebra existem algumas diferenças . Quando trabalhamos com a Geometria Analítica fazemos uso da soma de vetores e da multiplicação destes por um número real. Quando trabalhamos com os complexos fazemos uso da (mesma) soma de complexos (vetores) e da multiplicação de complexos (vetores), que é essencialmente uma rotação seguida de homotetia, portanto, não é o produto interno (escalar) e muito menos o produto vetorial do Cálculo Vetorial.( [13] Tipler; [24] Neto; [21] Barradas; [31] Bolton; [8] Cavalcante; [40] Carneiro).
Quantidade complexa (ou fasor) é uma grandeza que pode ser representada e operada vetorialmente, pela Álgebra dos números complexos, no plano. Pode significar uma variação de amplitude (módulo) e ângulo de fase (argumento) num fenômeno periódico (como acontece nos circuitos elétricos de corrente alternada). Grandeza vetorial (ou vetor) é aquela que possui direção, sentido e módulo (velocidade, deslocamento, etc). É representada e operada vetorialmente no plano e no espaço por uma álgebra (cálculo vetorial) diferente da álgebra dos complexos. ( [13] Tipler; [21] Barradas; [40] Carneiro; [24] Neto; [25] Medeiros; [8] Cavalcante; [14] Valladares).
Foi através do uso e da compreensão dos números complexos que, certos "defeitos" existentes no conjunto dos números reais foram "consertados". Euler (1748) usou as séries de Maclaurin (1742),

Séries (somas infinitas) de Maclaurin, um caso particular das Séries de Taylor.

Séries de potências: série de Maclaurin para o cosseno.

Séries de potências: série de Maclaurin para o seno.

substituindo x por ix, para chegar a relação eix = cos x + i sen x , onde i2 = -1 , e = 2,7182 ... , conhecida como identidade de Euler. Esta equação fez a tão necessária conexão entre logaritmos, funções trigonométricas e fatoriais (os complexos conseguem ter forma exponencial, trigonométrica ou polar). Além dessas conquistas, a identidade de Euler deu significado aos logaritmos de números negativos.

logaritmo neperiano de -1 = iPI,
ou seja, os logaritmos de números negativos são números imaginários puros.

Hadamard (1883), em um estudo sobre distribuição de temperatura, resolveu equações diferenciais (funções de Bessel) usando i2 = -1. Os números complexos conquistaram novos domínios para Matemática. ( [15] Ricieri; [41] Medeiros; [26] Ávila; Treatise of Fluxions de Maclaurin ; Introductio in Analysin infinitorum de Euler (1748)).


Os números complexos abriram caminho para que os matemáticos pudessem criar (experimentar) novas álgebras. Gauss (1801) estendeu os inteiros (números da forma a+bi em que a e b são inteiros e i2 = -1) na sua álgebra das congruências (aritmética modular). Hamilton (1843) introduziu uma multiplicação de vetores no espaço de quatro dimensões, construindo a álgebra, não comutativa, dos Quatérnions (a,b,c,d) = a + bi + cj + dk onde a,b,c,d são números reais e i2 = j2 = k2 = ijk = -1. O grupo dos quatérnions foi importante no desenvolvimento da álgebra abstrata e na construção da Física moderna. ( [1] Boyer; [3] Baumgart; [30] Felzenswalb ; Lectures on Quaternions de Hamilton (1853) ; Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1801) ).



Os números complexos são muito úteis na Aerodinâmica.

Aerofólios de Joukowski ou Zhukovsky.

Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e, usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula

levantamento da asa,

que permite calcular a força de levantamento responsável pela sustentação do voo de um avião. Os números complexos permitiram uma explicação matemática para o voo. Daí em diante o progresso aeronáutico foi rápido. ( [7] Churchil; [29] Green; [26] Ávila).


Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampère) são exemplos de quantidades complexas (fasores).

Representação senoidal e complexa da Corrente Alternada (CA ou AC).

Circuito RLC: R de resistor, L de indutor e C de capacitor.

A impedância (em ohms) é o número complexo Z = R + jX, ou na forma polar,
onde o argumento é o ângulo de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, |Z| é o módulo, R é a resistência elétrica (em ohm) e X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas
e capacitivas do circuito.
Na Física e na Engenharia o j é usado como unidade imaginária. Convém usar o j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente elétrica.

A potência aparente (em volt-ampère) é o número complexo P = Pr + jPx, ou na forma trigonométrica,
onde o argumento é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente,  |P| é o módulo, Pr é a potência real ou ativa (em watt), Px é a potência reativa (em volt-ampère reativo).
O valor do fator de potência (cosseno FI) é importante na determinação do aproveitamento da energia que está sendo gasta. ( [13] Tipler; [21] Barradas; [9] Barradas; [12] Cutler; [31] Bolton; [8] Cavalcante; [7] Churchil ).


Os procedimentos (algoritmos) recursivos (iterativos ou recorrentes) no plano complexo criaram na maioria das vezes figuras invariantes por escala denominadas fractais. Estas formas geométricas de dimensão fracionária servem como ferramenta para: descrever as formas irregulares da superfície da terra; modelar fenômenos, aparentemente imprevisíveis ( teoria do caos ), de natureza meteorológica, astronômica, econômica, biológica, etc.

Fractal floco de neve

Von Koch (1904) e Julia (1910), foram os pioneiros no nascimento dessa nova matemática (ou será nova arte?).

Atrator estranho de Lorenz

Henon (1974) estudou o sistema Xn+1 = 1 - Yn - a(Xn)2 e Yn+1 = bXn. Foi observado que, dados a, b, Xo, Yo, variando n (n = 0,1,2,3, ...) e representando o par (Xn , Yn) no plano complexo, independentemente dos valores iniciais Xo e Yo, os caminhos numéricos descritos pelos pares ordenados (Xo , Yo), (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , ... , (Xn , Yn) repetiam-se, formando hexágonos deformados. Ampliando seu conjunto de trajetórias (vários Xo e Yo) e representando-as juntas no plano complexo, Henon produziu uma figura enigmática que chamou de "Gingerbreadman".

Gingerbreadman

Mandelbrot (1975) estudou a equação Xn+1 = (Xn)2 + Z , onde Z = a + bi, i2 = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Através de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos Xn+1.

Fractal de Mandelbrot

Constatou que, para cada valor de Z uma figura era impressa na tela. Ampliando as figuras descobriu que continham cópias aproximadas de si mesmas (auto-semelhança).

Tsunami

Heavy Metal

Hubbard (1979) resolveu a equação polinomial do quarto grau x4 - 1 = 0 no computador, usando o método de Newton (1711) estendido para raízes complexas. Ao mapear a maneira pela qual o método leva, de diferentes valores iniciais xo, a uma das quatro soluções, produziu também geometria fractal. Os fractais permitem desenhar (ou modelar) qualquer coisa (ou fenômeno) da natureza numa tela de computador (computação gráfica), tudo isto graças ao corpo dos números complexos.( [15] Ricieri; [39] Cleick; [43] Seiter; De analysi per aequationes numero terminorum infinitas de Newton (1711) ; A two dimensional mapping with a strange atractor de Henon (1976) ; Les objects fractais: forme, hasard et dimension de Mandelbrot (1975)).



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