Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

"Salomão mandou fazer um altar de bronze, de nove metros de comprimento por nove de largura e quatro e meio de altura. Também mandou fazer um tanque redondo de bronze, com dois metros e vinte e cinco de profundidade, quatro metros e meio de diâmetro e treze metros e meio de circunferência." (BÍBLIA SAGRADA, II CRÔNICAS 7:22-23).

O número mais famoso da História universal é sem dúvida o número PI, muito importante dentro e fora da Matemática. Hoje sabemos que PI é um número irracional (não pode ser escrito na forma de fração, ou melhor, não pode ser representado como divisão de dois inteiros), transcendente (não é raiz de nenhuma equação algébrica com coeficientes inteiros ou racionais) e seu valor aproximado é 3,141592654 ... . Esta constante é denotada pela letra grega PI.

Constante de Arquimedes e Ludolph

Várias civilizações antigas (egípcios, babilônios, chineses etc.) usaram aproximações fracionárias para o número PI em seus cálculos, a saber: 25/8 , 256/81 , 355/113 etc. Com a civilização hebraica não foi diferente. No texto bíblico acima, escrito na linguagem de hoje, há uma lista de especificações para o grande templo de Salomão (aproximadamente 950 a.C). Qual o valor de PI recomendado pelo Rei Salomão no projeto para a construção do templo?


Solução: O número PI é muito importante na Geometria, na Trigonometria, na Topografia e na Engenharia. Resulta da divisão entre o perímetro (comprimento) e o diâmetro de qualquer círculo, ou seja, a circunferência (comprimento C) do círculo é sempre PI vezes maior que o seu diâmetro D.

Ludolph van Ceulen and Pi

No texto bíblico, a base do tanque redondo de bronze é circular. O comprimento deste círculo mede 13,5 m e o diâmetro mede 4,5 m.
Assim, o número PI recomendado no texto é 13,5 m / 4,5 m = 135 / 45 = 3.



Um comício político lotou uma praça circular de 40 m de diâmetro. Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, qual é o número de pessoas presentes ?
Solução:   A área do círculo é a metade do produto entre o comprimento C e o raio r.

círculo de raio r

Daí, vem que a área do círculo é PI vezes o quadrado do raio.

pierre ao quadrado

Vamos considerar PI = 3,14 (uma boa aproximação). Sendo o diâmetro D = 2r = 40 m, então, r = 20 m.
Segue que a área da praça é  A = (3,14)×(20)2 = 3,14×400 = 1256 m2. Assim, se em cada m2 cabe 4 pessoas, então, em 1256 m2 cabem 1256×4 = 5024 pessoas.


(UEMA) Uma indústria que pretende se instalar em São Luis ocupará uma área descrita pela figura abaixo.
terreno
Sabe-se que essa área é ocupada por 745 famílias que serão indenizadas , recebendo valores iguais. O metro quadrado é avaliado em R$1,80.Cada uma das famílias receberá: (Dado PI = 3,14).
(A) R$ 102.153,02
(B) R$ 252.120,00
(C) R$ 173.512,50
(D) R$ 98.756,60
(E) R$ 101.241,00

Solução: Calculando as áreas (em m2) : Área do semicírculo = 3,14×20002 / 2 = 6280000 m2
Área do triângulo retângulo = 3000×4000 / 2 = 6000000 m2
Área do trapézio = (4000 + 8000)×5000 / 2 = 30000000 m2
Á área total = 6280000 + 6000000 + 30000000 = 42280000 m2 .
Então o valor procurado é:
42280000 × 1,80 / 745 = 102153,0201 , ou seja, R$ 102.153,02 para cada família (alternativa A).

(UNICAMP) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é
(A) maior que 10000 km².
(B) menor que 8000 km².
(C) maior que 8000 km² e menor que 9000 km².
(D) maior que 9000 km² e menor que 10000 km².

Solução: Pela Matemática Financeira aumentar 25% é o mesmo que multiplicar por 1,25.
Logo, a área da região que deixou de receber voos é a área de um círculo cujo raio mede: 1,2540 = 50 km.
A área do círculo de raio r é PI vezes o quadrado do raio.
Considerando PI = 3,14 aproximadamente, segue que , a área procurada é A = 3,14×(50)² = 3,14×2500 = 7850 km² (Alternativa B).


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