Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(OBM-Adaptado) Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número real x, e duas teclas F e G. Quando se aperta a tecla F o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla G o número do visor é substituído por x² + 1. Se no visor está o número 10, responda:
a) Qual o número que aparece depois que se aperta a tecla F?
b) Qual o número que aparece depois que se aperta a tecla G?
c) Qual o número que aparece depois que se aperta a tecla F e a tecla G, nesta ordem?
d) Qual o número que aparece depois que se aperta a tecla G e a tecla F, nesta ordem?

Solução: O conceito matemático que descreve uma regra (relação) bem definida de dependência entre duas ou mais medidas (grandezas), chamamos de Função.

Podemos imaginar que uma função é uma máquina em que introduzimos um número x do conjunto de entrada (domínio), dela saindo o número y=f(x) do conjunto de saída (imagem).

a) Apertando F temos: F(10) = 2(10) + 1 = 20 + 1 = 21

b) Apertando G temos: G(10) = 10² + 1 = 100 + 1 = 101

c) Apertando F segue que F(10) = 21.
Em seguida, apertando G temos G(21) = 21² + 1 = 411 + 1 = 412

d) Apertando G temos: G(10) = 101.
Em seguida apetando F segue que F(101) = 2(101) + 1 = 203



Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37  para a maioria das mulheres e 38, 40 e 41 para a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmula para calcular y é:
f(x)=(5x+28)/4
Com base nessa relação, responda:
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm?
b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm?
c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42?

Solução: No problema temos que o número y do sapato, de uma pessoa, está em função do comprimento x do pé, através da lei de correspondência y = (5x + 28) / 4.

Para cada comprimento x do pé, existe um único número y do calçado, isto é, para cada número x, existe um único número y = f(x)  associado.

a) Para o comprimento x = 24,8 cm, temos o número

y = [5(24,8) + 28] / 4 = (124 + 28) / 4 = 152 / 4 = 38.

b) Para o comprimento x = 20 cm , temos o número

y = [5(20) + 28] / 4 = (100 + 28) / 4 = 128 / 4 = 32

c) Para o número y = 42, temos que encontrar o comprimento x na equação do primeiro grau

(5x + 28) / 4 = 42.

Daí, vem que 5x + 28 = 168, o que implica em 5x = 168 - 28.

Então, 5x = 140. Logo, o comprimento x = 140 / 5 = 28 cm.



A função definida no conjunto dos números reais y = 2x - 1 tem seu gráfico representado por uma reta. Construindo uma tabela onde aparecem os valores escolhidos de x e os valores do correspondente y, calculados através da equação (lei de correspondência) y = 2x - 1, temos:
função do primeiro grau
Represente cada par ordenado (x , y) da tabela por um ponto no plano cartesiano abaixo.
Construa o gráfico da função y = 2x - 1 ligando os pontos na ordem crescente dos valores de x.

Solução:

reta



A função definida no conjunto dos números reais y = x2 - 4 tem seu gráfico representado por uma curva contínua chamada parábola. Construindo uma tabela onde aparecem os valores escolhidos de x e os valores do correspondente y, calculados através da lei y = x2 - 4, temos:
função do segundo grau
Represente cada par ordenado (x , y) da tabela por um ponto no plano cartesiano abaixo.
Construa o gráfico da função y = x2 - 4 ligando os pontos na ordem crescente dos valores de x.

Solução:

PARABOLA



(CESGRANRIO) Seja f : IR ____>IR uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta vertical :
(A) possui exatamente dois elementos .
(B) é vazio .
(C) é não enumerável .
(D) possui, pelo menos, dois elementos.
(E) possui um só elemento.

Solução: Uma função f, é uma relação que associa a cada elemento x do domínio uma e somente uma imagem y no contradomínio. Assim, para sabermos se um determinado gráfico cartesiano representa uma função ou não, basta verificarmos se toda reta vertical traçada pelos pontos (x, 0), em que x é elemento do domínio, corta o gráfico num único ponto. Logo, o conjunto dos pontos de interseção do gráfico com uma reta vertical possui um só elemento. A resposta correta está na alternativa (E).

Maria e Joćo resolveram trocar mensagens sigilosa usando funções inversas. Inicialmente, relacionam números ao alfabeto (veja a tabela abaixo onde o símbolo # representa um espaço em branco).

criptografia

Em seguida definem a função que vai codificar a mensagem: y = 2x - 3. Assim, por exemplo, à mensagem REVISTA, Maria associa a sequência numérica 18 5 22 9 19 20 1 , mas envia a Joćo a sequência numérica obtida pelas imagens da função y = 2x - 3, ou seja, 33 7 41 15 35 37 -1. Desta forma se Maria envia a Joćo, utilizando-se da mesma função, a sequência -1 3 7 33 37 27 39 , qual é a mensagem que será compreendida pelo Joćo?


Solução: Uma função é inversa de uma outra quando ela desfaz o que outra faz e vice-versa.
Se a função que codifica (cifra) a mensagem é a função y = 2x - 3, então a função que decodifica (decifra ou traduz) é a função inversa de y = 2x -3. Para calcular a função inversa de y = 2x - 3 , trocamos o x pelo y e depois isolamos o y.

Então, x = 2y - 3 , o que implica em -2y = -x - 3, isto é, 2y = x + 3. Logo y = (x + 3) / 2 é a função inversa.

Como Maria enviou a sucessão -1 3 7 33 37 27 39 , obtida pelas imagens da função y = 2x -3, Joćo, para entender a mensagem, tem que obter a sucessão pelas imagens de y = (x + 3) / 2 :
Para x = -1, temos y = (-1 + 3) / 2 = 1 ;
Para x = 3 , temos y = (3 + 3) / 2 = 3 ;
Para x = 7, temos y = (7 + 3) / 2 = 5 ;
Para x = 33 , temos y = (33 + 3) / 2 = 18 ;
Para x = 37, temos y = (37 + 3) / 2 = 20 ;
Para x = 27, temos y = (27 + 3) / 2 = 15 ;
Para x = 39, temos y = (39 + 3) / 2 = 21.

Assim a mensagem entendida (decodificada) por Joćo é 1 3 5 18 20 15 21, o que corresponde a mensagem ACERTOU.

Este procedimento pode ser chamado de Criptografia básica.



Sendo f e g   funções  reais tais que: f(2x-1)= 3x2 - x + 25 e g(x-1)= 2x + 3, calcular o valor de f(g(-1)).
Solução: Pela definição do enunciado: g(-1) = g(0-1) = 2(0) + 3 = 3.

Então, calculamos a função composta f(g(-1)) = f(3) = f(4-1) = 3(2)2 - 2 + 25 = 12 - 2 + 25 = 35.



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