Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos

(CBMERJ) Considere o conjunto de todos os números maiores que 1, tais que, quando divididos por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8, deixam sempre resto igual a 1. A soma dos dois menores números desse conjunto é
(A) 2222
(B) 2322
(C) 2422
(D) 2522
(E) 2622

Solução: Se x deixa resto 1 quando dividido por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8, então, x - 1 deixa resto zero quando dividido por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8.

Assim, x - 1 é múltiplo comum de 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.

Usando o método da fatoração simultânea de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 podemos encontrar o mínimo múltiplo comum deles, ou seja, o MMC(2,3,4,5,6,7,8) = 840.

Segue que, x = 841 e o conjunto procurado é {841, 1681, 2521, 3861, ..., 840K+1, ...}, onde K = 1,2,3,4,... .

Logo, a soma dos dois menores números desse conjunto é:

841 + 1681 = 2522 (alternativa D).





(CBMERJ) Se 12 bombeiros, trabalhando 10 horas por dia, levantam um muro de 20 m de comprimento em 6 dias, o número de horas por dia que 15 bombeiros trabalhando 8 dias, levantarão um muro de 30 m com a mesma altura e largura do anterior, será de:
(A) 25
(B) 20
(C) 15
(D) 10
(E) 9

Solução: Vamos usar um procedimento usualmente chamado de "regra de três composta". Vamos comparar cada grupo de grandezas com o grupo em que estiver o valor desconhecido x. Horas/dia e comprimento são diretamente proporcionais, horas/dias e número de bombeiros são inversamente proporcionais, horas/dias e dias são inversamente proporcionais.

bombeiros horas/dia comprimento dias
12 10 20 6
15 x 30 8

A razão do grupo de grandezas inversamente proporcionais deve ser invertida, a fim de tomar o mesmo sentido das grandezas diretamente proporcionais.

Regra de três composta.

Assim, conservamos a razão que tem x e multiplicamos entre si as demais razões.

Regra de três composta.

Logo o valor encontrado, x = 9 horas, corresponde a alternatica (E).


(CBMERJ) O valor que representa (10%)2 é:
(A) 100%
(B) 20%
(C) 5%
(D) 1%
(E) 0,1%

Solução: Sabemos da Matemática Financeira que 10% = 10/100 = 1/10 , então (10%)² = (1/10)² = 1/100 = 1%. Logo a alternativa correta é a (D).
(CBMERJ) Um fio de aço com 13,44 metros é transformado em pregos. Se o comprimento de cada prego é de 2,80 cm. O número de dúzias de pregos obtidos através dessa transformação é:
(A) 40
(B) 50
(C) 60
(D) 400
(E) 500

Solução: Como 2,80 cm = 0,028 m , então o número de pregos será: 13,44 / 0,028 = 13440 / 28 = 480.

O número de dúzias de pregos será: 480/12 = 40. Logo a alternativa correta é a (A).


(CBMERJ) Ao revender o apartamento, o soldado Marcos obteve em lucro de 15% sobre o preço de venda. Sabendo que ele comprou esse apartamento por R$170.000,00 , pode-se afirmar que Marcos vendeu seu apartamento por:
(A) R$225.000,00
(B) R$215.000,00
(C) R$200.000,00
(D) R$195.000,00
(E) R$185.000,00

Solução: Seja L o lucro, V a venda e C o custo. Temos que: L = V - C , isto é, V = L + C = L + 170.000.

Como o lucro sobre o preço de venda é: L/V = 15% = 0,15 , então, L = 0,15V.

Assim, V = 0,15V + 170.000.

O que implica em: 0,85V = 170.000. Logo: V = 170.000 / 0,85 = 200.000. A alternativa correta é a (C).



(CBMERJ) A receita mensal R, em milhares de reais, obtida com a venda de certo aparelho de barbear está relacionada ao preço unitário p, em reais, de tais aparelhos através da equação
R(p) = -0,5p2 + 30p .
O número de aparelhos vendidos,
quando a receita é máxima, é igual a
(A) 9.000 aparelhos
(B) 12.000 aparelhos
(C) 15.000 aparelhos
(D) 18.000 aparelhos
(E) 21.000 aparelhos

Solução: Temos a função do segundo grau R(p) = -0,5p²+30p.

Observe a parábola y = ax2 + bx + c, onde y = R(p) e x = p.

y = R(p) e x = p

Sendo que a = -0,5 ; b = 30 ; c = 0.

O discriminante : DELTA = b2 - 4ac = 302 - 4(-0,5)(0) = 900 .

A coordenada x do vértice da parábola é xv = -30 / 2(-0,5) = -30 / (-1) = 30 reais cada unidade.

A coordenada y do vértice da parábola é yv = -900 / (-2) = 450 mil reais.

Então, o número de produtos vendidos quando a receita tem valor máximo é: 450000 / 30 = 15000 aparelhos (opção C).



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