Professor Ezequias.

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Para que serve o Binômio de Newton? O binômio serve para resolver o seguinte problema: Qual o valor aproximado da raiz quadrada de 101?
Solução: Além de ser importante na análise combinatória, na teoria das probabilidades e no estudo da estatística, o teorema binomial é bastante vantajoso para se fazerem aproximações.

(a+b)n = Cn,0×(a)n×(b)0 + Cn,1×(a)n-1×(b)1 + Cn,2×(a)n-2×(b)2 + ... + Cn,n-2×(a)2×(b)n-2 +

Cn,n-1×(a)1×(b)n-1 + Cn,n×(a)0×(b)n .

Um caso particular: (a+b)3 = C3,0×(a)3×(b)0 + C3,1×(a)2×(b)1 + C3,2×(a)1×(b)2 +

C3,3×(a)0×(b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .

Uma forma simplificada deste teorema é:

(1+x)n = 1 + nx + n(n-1)x2/2! + n(n-1)(n-2)x3/3! + n(n-1)(n-2)(n-3)x4/4! +

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)x5/5! + ....

Observe que na forma simplificada:

Se n for um número inteiro e positivo, esta série (soma) tem n+1 termos (parcelas).

Se n for um número real, mas não inteiro positivo, o número de termos da série é infinito (sÚrie binomial).

A série converge (se aproxima) para qualquer n se x2 for menor que 1. Também converge para x2 = 1 se n for positivo.

A série é especialmente útil se o valor absoluto de x for muito menor que 1. Neste caso, cada termo é muito menor que o termo anterior e podemos desprezar todos os termos exceto os dois ou os três primeiros do segundo membro. Assim, se |x| for muito menor que 1, então (1+x)n = 1 + nx aproximadamente.

Logo, a raiz quadrada de 101 = (101)½ = (100 + 1)½ = (100)½ .(1 + 0,01)½ = 10(1 + 0,01)½

Como, (1 + 0,01)½ = 1 + ½(0,01) = 1 + 0,005 = 1,005

Então, a raiz quadrada de 101 = 10(1,005) = 10,05.

NOTA: Usando calculadora, a raiz quadrada de 101 = (101)½ = 10,04987562.



(UFRJ) “O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso. óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóó (O vento lá fora)” (Álvaro de Campos).

Um capital é aplicado por doze anos e seis meses a juros compostos de meio por cento ao mês. Ao final desse período, o rendimento acumulado será igual, inferior ou superior a 100%? Justifique sua resposta.


Solução:  Doze anos e seis meses = 150 meses. Aumentar 0,5% é o mesmo que multiplicar por 1,005. Aumentar 100% é o mesmo que multiplicar por 2.

 No regime de juros compostos o montante é M = C(1,005)150, onde C é o capital inicial. Então, temos que verificar se (1,005)150 > 2 ou não.

Vamos usar o binômio de Newton:

(1,005)150 = (1 + 0,005)150 = (1 + 1/200)150 =

C150,0×(1/200)0 + C150,1×(1/200)1 + C150,2×(1/200)2 +  C150,3×(1/200)3 + .... =

1 + 0,75 + (11175 / 40000) + (551300 / 8000000) + ... =

1 + 0,75 + 0,279375 + 0,0689125 + ... = 2,0982875 + ... > 2.

Logo, após 150 meses, o capital terá rendimento superior a 100%.

NOTA: Usando calculadora temos (1,005)150 = 2,113 > 2, isto é, rendimento acumulado superior a 100%.

OBS: Álvaro de Campos é um heterônimo de Fernando Pessoa.



(PETROBRAS) Um capital de R$ 18.000 foi aplicado em regime de juros compostos durante 15 meses. Findo esse período, a remuneração obtida foi de R$ 10.043,40. A taxa percentual efetiva mensal dessa aplicação equivale a

(A) 3,00

(B) 3,50

(C) 3,72

(D) 3,81

(E) 3,96


Solução: No regime de juros compostos, o montante (capital + juros) é:

M = 18000(1+i)15 = 18000,00 + 10043,40 = 28043,40 , onde i é a taxa procurada.

Segue que: (1+i)15 = 28043,40 / 18000 = 280434 / 180000 .

(1+i)15 = 1,558 aproximadamente.

Logo: i = (1,558)1/15 - 1

Usando o Binômio de Newton (desprezando todos os termos exceto os três primeiros) temos.

(1 + 0,558)1/15 = 1 + (1/15)(0,558) + (1/15)(1/15 - 1)(0,558)2/2! + ... =

1 + 0,0372 + (-0,00969) + ... = 1,028

Logo, i = 1,028 - 1 = 0,028, aproximando de 0,03 = 3% (opção A).

NOTA: Usando calculadora, teremos i = (1,558)1/15 - 1 = 1,030001 - 1 = 0,030001 = 3%.


(UFPA) A arte de mosaico teve seu início aproximadamente em 3.500 a.C. e seu apogeu no século VI d.C., durante o Império Bizantino. O mosaico consiste na formação de uma figura com pequenas peças (pedras, vidros etc.) colocadas sobre o cimento fresco de uma parede ou de um piso. No Brasil, o mosaico foi utilizado, entre outros, por Cândido Portinari, Di Cavalcanti e Tomie Ohtake em diversas obras. Ele ainda é utilizado, principalmente na construção civil em imensos painéis, na decoração de piscinas e em pisos e paredes dos mais diversos ambientes.

Calçadão de copacabana

Admirador dessa arte, um famoso milionário contratou um renomado artista para decorar o piso de sua casa de campo com mosaicos. Inspirado nos trabalhos de Escher, o artista decidiu construir o mosaico colorindo os números do triângulo de Pascal (veja as figuras a seguir) que são múltiplos de dois. O triângulo de Pascal é constituído pelos termos binomiais

Combinação simples

Triângulo aritmético

Lei de formação

Completando o triângulo de Pascal acima e colorindo os múltiplos de 2, obtém-se a figura idealizada pelo artista, representada na alternativa

Pascal


Solução: Desenvolvendo os binomiais e colorindo os resultados pares, conforme modelo sugerido na questão, encontramos a construção a seguir. Por outro lado, podemos usar as propriedades do triângulo de Pascal e chegar ao resultado procurado. Como Cn,o = Cn,n = 1, todas as linhas do triângulo de Pascal terão seu primeiro e seu último elemento igual a 1. Os elementos (coeficientes binomiais) equidistantes pertencentes a uma mesma linha, possuem valores numéricos iguais; A soma de dois elementos de cada linha será igual ao elemento de baixo.

Tartáglia

Assim, a resposta está na alternativa (E).



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