Professor Ezequias.

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(COLÉGIO NAVAL) Considere a equação do segundo grau em x tal que a²+bx+c=0, onde a, b, c são números reais com “a” diferente de zero. Sabendo que 2 e 3 são raízes dessa equação, podemos afirmar que:
(A) 13a+5b+2c = 0
(B) 9a+3b–c = 0
(C) 4a+3b–c = 0
(D) 5a–b = 0
(E) 36a+ 6b+c = 0

Solução: Vamos utilizar o fato (Produto notável):
a(x-x1)(x-x2) = ax-a(x1+x2)x+ax1x2 = 0
Para a=1, (x-x1)(x-x2) = x-(x1+x2)x+x1x2 = 0

Temos que x1= 3 e x2= 2 são as ráizes .

Como, x1+x2 = 5 e x1x2 = 6,
então, para a=1, a equação é: x²-5x+6 = 0.

Para todo a real diferente de zero temos ax²-5ax+6a=0.

Segue que, b=-5a e c=6a.

Logo, na alternativa (A) temos:
13a+5(-5a)+2(6a) = 13a-25a+12a = 0 (CORRETO).

Nas outras alternativa:
(B) 9a+(-15a)-6a = 9a-15a-6a = -12a.
(C) 4a-(-10a) = 4a+10a=14a.
(D) 5a-(-5a) = 5a+5a = 10a .
(E) 36a+(-30a)+6a = 36a-30a+6a = 12a.
Assim, a afirmativa correta está na alternativa (A).





Distribuí 100 balas para os alunos da minha classe. No dia seguinte, faltaram 5 alunos. Distribuindo novamente 100 balas, cada um ganhou uma bala a mais. Calcule o total de alunos da minha classe.
Solução: Seja x o total o de alunos.
Assim, (100 / x) + 1 = 100 / (x - 5) , então:
x2 - 5x - 500 = 0 .

A equação do segundo grau ax + bx + c = 0 , onde a = 1, b = -5 e c = -500, pode ser resolvida com a fórmula quadrática:

x = (-b + ou - raiz quadrada de delta) / 2a.

Calculando o discriminante, encontramos: DELTA = 25 - 4(1)(-500) = 2025 .

Como 2025 = 34×52, sua raiz quadrada vale 32×5 = 45.

Portanto:

x = (5 + 45) / 2 = 25 alunos  ou  x =  (5 - 45) / 2 = - 20 (não convém) .

Logo , o total de alunos é 25.

De outro modo. Podemos utilizar o fato:
(x-x1)(x-x2) = x-(x1+x2)x+x1x2 = 0
Fazendo a pergunta: Quais são os números cujo a soma é 5 e o produto é (-500).
Por tentativa e erro chegamos a (-20+25)=5 e (-20).(25)=-500.
Logo os números são -20 e 25.
Assim, a resposta do problema é 25.



A área de um retângulo é o produto da base (comprimento) pela altura (largura). A área de um terreno de formato retangular é igual a 440m². Sabendo que a medida do comprimento e da largura desse retângulo são números naturais pares e consecutivos, determine seus valores.
Solução: Como a área é 440, temos que x(x+2) = 440 .

Logo, x2 + 2x - 440 = 0.

Calculando o discriminante DELTA = 22 - 4(1)(-440) = 1764.

Como, 1764 = 42×42, segue que a raiz quadrada de 1764 é 42.

Logo,

x = (-2 + 42) / 2 = 20

ou

x + (-2 - 42) / 2 = - 22 (não convém).

Assim, o retângulo tem as medidas:

x = 20 m

e

x + 2 = 22 m


A área de um triângulo é a metade do produto da base (comprimento) pela altura (largura). A área de um triângulo é igual a 24cm². Sabendo que as medidas da base e da altura desse triângulo são respectivamente números  naturais pares e consecutivos, determine seus valores.
Solução: Se os valores são x e x + 2, então

x(x + 2) / 2 = 24

x2 + 2x = 48

x2 + 2x - 48 = 0

DELTA = 22 - 4(1)(-48) = 196

Como, 196 = 14×14, segue que a raiz quadrada de 196 é 14.

Assim,

x = (-2 + 14) / 2 = 6

ou

x = (-2 - 14) / 2 = -8 (não serve).

Logo, x = 6cm e x + 2 = 8cm, são os valores pedidos.



O Teorema de Pitágoras diz: "Se um triângulo é um triângulo retângulo de lados a, b e c, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90 graus), b e c são os catetos, então vale sempre a relação: a2 = b2 + c2 ". Um triângulo retângulo tem hipotenusa 15 cm. Um dos catetos tem 3 unidades a mais que o outro. Qual é o perímetro (soma dos lados) desse triângulo?
Solução: Se um dos catetos mede x, o outro mede x+3.

Pelo Teorema Pitágoras x2 + (x+3)2 = 225.

x2 + x2 + 6x + 9 - 225 = 0

2x2 + 6x - 216 = 0

DELTA = 62 - 4(2)(-216) = 1764.

Como, a raiz quadrada 1764 é 42, então:

x = (-6 + 42) / 4 = 9 e x + 3 = 12

ou

x = (-6 - 42) / 4 = -12 (não serve).

Logo, o perímetro mede:

9 + 12 + 15 = 36 cm.


(COLÉGIO NAVAL) Sobre a equação: 1999x² - 2000x - 2001, a afirmação correta é :
(A) tem duas raízes de sinais contrários, mas não simétricas.
(B) tem duas raízes simétricas.
(C) não tem raízes reais.
(C) tem duas raízes positivas.
(D) tem duas raízes positivas.

Solução: Note que o DELTA = (-2000) - 4(1999)(-2001) = (2000) + 4(1999)(2001) é positivo. Isso significa que a equação possue duas raízes reais distintas.

Pelo fato de
a(x-x1)(x-x2) = ax-a(x1+x2)x+ax1x2 = 0,
segue que x1+x2 = -b/a e x1x2 = c/a.

O produto das raízes é c/a = -2001/1999. Como o produto das raízes é negativo, podemos afirmar que elas possuem sinais contrários.

A soma das raízes é -b/a = 2000/1999. Como a soma é positiva, portanto, diferente de zero, significa que as raízes não são simétricas.

Logo, a resposta correta está na alternativa (A).

OBS: Usando calculadora gráfica, temos a função quadrática
y = 1999x² - 2000x - 2001 :

parábola

A parábola corta o eixo dos y no ponto de coordenadas (0 , -2001);
As raízes são -0,6183 e 1,6188;
O valor de x que torna y mínimo é 0,5003.
O valor mínimo de y é -2501,25.
Portanto, confirma que a resposta correta é a opção (A).




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