Prof. Ezequias - Matemática

(ENEM) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
(A)1/2 (B)5/8 (C)1/4 (D)5/6 (E)5/14

Solução: Usando diagramas de conjuntos, temos:

diagrama de venn- euler

x - 600 + x + x - 500 + 300 = 1200
x = 1400 - 1200 = 200

diagrama de venn-euler

Como o aluno sorteado não fala inglês, o número de resultados possíveis passa a ser o número de alunos que não falam inglês: 300 + 300 = 600.
O número de resultados favoráveis é a quantidade de alunos que falam apenas espanhol: 300.
Assim a probabilidade procurada é : 300/600 = 1/2 = 50% (alternativa A).

O procedimentos usado é denominado de probabilidade condicional.

Um congresso médico reúne 48 psiquiatras, dos quais 18 são mulheres; 72 psicólogos, dos quais 53 são mulheres; e 27 neurologistas, dos quais 10 são mulheres. Um dos participantes foi escolhido ao acaso para coordenar os trabalhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada é mulher, qual é a probabilidade de que ela seja psiquiatra?

Solução: Construindo uma tabela para visualizar melhor o problema, temos:

tabela para cruzar os dados

Como a pessoa sorteada é mulher, o número de elementos do espaço amostral (número de resultados possíveis) passa a ser o total de mulheres que é 81.

O número de resultados favoráveis é a quantidade de mulheres psiquiatras, ou seja, 18.

Então a probabilidade procurada é P = 18 / 81 = 2 / 9 = 0,222... = 22,22 %.

Observe que poderíamos ter usado a probabilidade da ocorrência do evento A sabendo-se que já ocorreu o evento B (probabilidade condicional), ou seja,

probabilidade condicional

= 18 / 81 = 2 / 9 = 0,222... = 22,22 %.

(FGV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2000 motoristas de uma cidade a fim determinar a relação entre o número de acidentes (y) em certo período e a idade em anos (x) dos motoristas. Os resultados estão na tabela abaixo:

tabela acidente x anos

Adotando a frequência relativa observada como probabilidade de cada evento,obtenha:

a) a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado.

b) a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

Solução: Frequência relativa de um dado é a taxa percentual obtida pela divisão da frequência com que o dado aparece pelo número total de dados. Em Estatística é usual estimar a probabilidade pela frequência relativa (interpretação frequencista das probabilidades). Assim, utilizando os dados da tabela, temos as soluções dos itens a) e b):

a) Somando a coluna correspondente a y = 1 (exatamente 1 acidente), encontramos: 50 + 120 + 80 + 105 = 355 casos favoráveis num total de 2000 motoristas. Logo a probabilidade pedida é: 355 / 2000 = 71 / 400 = 0,1775 = 17,75%.

b) Somando a linha correspondente a x menor que 20 (ele tem menos que 20 anos) encontramos um total de 200 + 50 + 20 + 10 = 280 motoristas.
Na coluna correspondente a y = 2 (exatamente 2 acidentes) temos apenas 20 motoristas com idade inferior a 20 anos.
Logo, temos 20 casos favoráveis num total de 280 casos possíveis, ou seja, a probabilidade pedida é: 20 / 280 = 1 / 14. O que corresponde ao percentual de 7,14% aproximadamente.

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