Professor Ezequias.

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Axiomas dos inteiros: A adição é associativa, comutativa, 0 é neutro, e cada inteiro tem simétrico. A multiplicação é associativa, comutativa, 1 é neutro, é distributiva em relação á adição, e vale o cancelamento de inteiros não nulos. A ordem (menor que) é transitiva, respeita a adição, respeita a multiplicação por inteiros positivos e satisfaz à tricotomia. Vale o principio da boa ordenação dos inteiros (PBO). Utilize esses axiomas nos problemas a seguir.
Mostre que o zero é absorvente na multiplicação (a.0=0).
Solução: Seja o número inteiro a.
Sabemos que 0+0 = 0.
Multiplicando ambos os membros por a.
a(0+0) = a.0
Pela propriedade distributiva:
a.0+a.0 = a.0
Somando ambos os membros por (-a.0).
a.0+(-a.0)+a.0 = a.0+(-a.0).
Pela existência do elemento simétrico.
0+a.0 = 0
Como zero é neutro aditivo, segue que:
a.0 = 0 , CQD.

Mostre que 1>0.
Solução: Para todo número inteiro a, pela tricotomia, a<0, ou a=0, ou a>0.
Se a<0, podemos somar (-a) a ambos os membros.
a+(-a)<0+(-a)
Como 0 é neutro aditivo e existe o elemento simétrico, ficamos com:
0<(-a)
Como a ordem respeita a multiplicação por inteiros positivos, temos:
0.(-a)<(-a).(-a).
Como a.0 = 0 e (-a).(-a) = a
Segue que: 0<a , ou a>0.
Se a = 0, ao multiplicarmos ambos os lados por a, teremos:
a = 0.a = 0 (O zero é absorvente).
Se a>0, se multiplicarmos ambos os membros por a, segue que:
a>0 .
Conclusão: Todo quadrado igual ou maior que zero.
Logo, como 1 é diferente de zero, pelo axioma do elemento neutro multiplicativo, segue que:
1 = 1.1 = 1>0 , CQD.

Mostre que, para todos os inteiros a e b, tem-se:
a(-b) = -(ab).

Solução: Sejam a e b números inteiros.
Pela propriedade do elemento simétrico:
b+(-b) = 0
Multiplicando ambos os membros por a.
ab+a(-b) = a.0 = 0 (O zero é absorvente).
Se somarmos ambos os membros por (ab), teremos:
ab+[-(ab)]+a(-b) = -(ab)
Como (ab) simétrico de ab, vem que:
0+a(-b) = -(ab).
Como zero é neutro aditivo, temos:
a(-b) = -(ab) , CQD.


Mostre que não existe inteiro entre dois inteiros consecutivos.
Solução: Suponhamos por absurdo que existem a e k inteiros tais que:

reductio ad absurdum
Temos que a ordem respeita a adição.
Pela existência do neutro e do simétrico, segue:

PBO
Temos um conjunto não vazio S.
Pelo PBO, existe um m mínimo tal que m pertence ao conjunto S, então:
m>0 e m<1.
Pela transitividade
0<m<1
Como a ordem respeita a multiplicação por inteiros positivos, teremos.
m.m<1.m
Como o 1 é neutro multiplicativo, segue. m<m
Por outro lado m.m>0.m
O zero é absorvente, implicando em: m>0
Pela transitividade.
0<m<m
Concluímos que m² pertence a S e é menor que o elemento mínimo m, o que contradiz o PBO (UM ABSURDO).
Logo, não existe inteiro entre dois inteiros consecutivos. CQD.


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